ｐが素数で，ａがｐの倍数でないとき，フェルマーの小定理

　　ａ^p-1＝１　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つ．

　この定理は両辺にａを乗じた形で表されることもあるが，その場合，ａがｐの倍数でないという条件は不要となる．すなわち，

　ｐが素数のとき，すべての整数ａに対して，フェルマーの小定理

　　ａ^p＝ａ　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つ．

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【１】発見

　フェルマーは

［１］１^3−１，２^3−２，３^3−３，４^3−４，５^3−５，・・・はすべて３で割り切れる

［２］１^5−１，２^5−２，３^5−３，４^5−４，５^5−５，・・・はすべて５で割り切れる

［３］１^7−１，２^7−２，３^7−３，４^7−４，５^7−５，・・・はすべて７で割り切れる

という整除性に気づいた．

　しかし，２^9−２＝５１０は９で割り切れないので，このパターンはベキが９のとき成立しない．

［４］１^11−１，２^11−２，３^11−３，４^11−４，５^11−５，・・・はすべて１１で割り切れる

［５］１^13−１，２^13−２，３^13−３，４^13−４，５^13−５，・・・はすべて１３で割り切れる

ことから，フェルマーはベキが素数のときこのパターンが成立することを発見した．

　すなわち，ｐが素数のとき

［６］１^p−１，２^p−２，３^p−３，４^p−４，５^p−５，・・・はすべてｐで割り切れる

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【２】証明

　２項定理

　　（ｘ＋１）^p＝ｘ^p＋（ｐ，１）ｘ^(p-1)＋（ｐ，２）ｘ^(p-2)＋・・・＋（ｐ，ｐ−１）ｘ＋１

　連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであるが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk

すなわち，組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．

　したがって，

　　ｐ（ｐ−１）・・・（ｐ−ｋ＋１）／ｋ！＝pＣk

ｋ＝１〜ｐ−１に対して，pＣk＝（ｐ，ｋ）はｐで割り切れるから，

　　（ｘ＋１）^p＝ｘ^p＋１　　（ｍｏｄ　ｐ）

［１］ｘ＝１とおくと，

　　２^p＝２　　（ｍｏｄ　ｐ）

［２］ｘ＝２とおくと，

　　３^p＝２^p＋１＝３　　（ｍｏｄ　ｐ）

［３］以下，芋づる式に　　

　　ａ^p＝（ａ−１）^p＋１＝ａ　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つことが示される．

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