トーラス面

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｒ0：パイプの半径，ｒ1：輪の半径　　（ｒ0＜ｒ1）

［１］ｒ0＝１／４，ｒ1＝１

　たとえば，緯線ｚ＝ｚ0で切れば２つの同心円

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＝ｒ1±（ｒ0^2−ｚ0^2）^1/2

経線はｚ軸を含み，ｘｙ平面と直交する平面との切り口ですから円になります．

　ｙ＝ｙ0で切れば，カッシーニ曲線

　　｛（ｘ^2＋ｙ0^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

で，ｙ0の値によって４種類に移り変わります．

［２］ｒ0＝１／４，ｒ1＝１

　４種類とは凸卵形，つぶれた卵形（変曲点をもつ繭形），８の字型（レムニスケート），２つに分かれたペアの卵形で，とくにｙ＝０のとき，２つに分かれたペアの円

　　｛ｘ±ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

となります．（図は阪本ひろむ氏提供）．

　また，斜めの平面（ｚ＝ｔａｎθ・ｘ）で切れば

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）（Ｘ^2＋Ｙ^2）＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝４ｒ1^2（Ｘ^2ｃｏｓ^2θ＋Ｙ^2）

となります．

　気づきにくいことですが，原点を通り，ｘｙ平面となす角度が

　　ｓｉｎα＝ｒ0／ｒ1

の平面による切り口も円（ヴィラソーの円）になります．この平面はドーナツ面の内側をかすめるように通ります．

（証明）θ＝αのとき，

　　ｃｏｓ^2θ＝（ｒ1^2−ｒ0^2）／ｒ1^2

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）Ｘ^2−２（ｒ1^2＋ｒ0^2）Ｙ^2＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝０

となる．

　これを整理すると

　　（Ｘ^2−ｒ1^2）^2＋２（Ｙ^2＋ｒ0^2）（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ^2＋ｒ0^2）^2＝０

　　｛（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ＋ｒ0）^2｝｛（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ−ｒ0）^2｝＝０

　これより，２円

　　Ｘ^2＋（Ｙ＋ｒ0）^2＝ｒ1^2

　　Ｘ^2＋（Ｙ−ｒ0）^2＝ｒ1^2

が得られる．これらは（０，±ｒ0）を中心とする半径ｒ1の双子の円である．

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　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）（Ｘ^2＋Ｙ^2）＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝４ｒ1^2（Ｘ^2ｃｏｓ^2θ＋Ｙ^2）

は，双子の４次曲線に分かれるはずである．

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2＋２ｒ1^2ｃｏｓ^2θ）Ｘ^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2＋２ｒ1^2）Ｙ^2＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝０

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2ｃｏｓ２θ−ｒ0^2）Ｘ^2−２（３ｒ1^2−ｒ0^2）Ｙ^2＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝０

となってうまくいかない．

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