平面上の閉曲線Ｃと平行な直線族との交点によって定まる線分の中点の軌跡は直線（線分である）という幾何学的性質を考える．円がこの性質をもつことは明らかであるが，この性質をもつための必要十分条件は楕円であることである．

　この性質は空間に一般化できて，空間内の閉曲面Ｃと平行な直線族との交点によって定まる線分の中点が同一平面上にあるという幾何学的性質を考える．球面がこの性質をもつことは明らかであるが，この性質をもつための必要十分条件は楕円面であることである．→これを証明してみたい．

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　楕円面をｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＋ｚ^2／ｃ^2＝１，ｘｙ平面に含まれるベクトルをｕ＝（ｕ1，ｕ2，０），３次元空間の長さ１の方向ベクトルをｖ＝（ｖ1，ｖ2，ｖ3）とすると，直線は

　　ｘ＝ｕ＋ｔｖ，ｘ＝ｕ1＋ｔｖ1，ｙ＝ｕ2＋ｔｖ2，ｚ＝ｔｖ3

で定まる．

　代入して整理すると

　　（ｖ1^2ｂ^2ｃ^2＋ｖ2^2ａ^2ｃ^2＋ｖ3^2ａ^2ｂ^2）ｔ^2＋２（ｕ1ｖ1ｂ^2ｃ^2＋ｕ2ｖ2ａ^2ｃ^2）ｔ＋ｕ1^2ｂ^2ｃ^2＋ｕ2^2ａ^2ｃ^2−ａ^2ｂ^2ｃ^2＝０

　　（ｔ1＋ｔ2）／２＝−（ｕ1ｖ1ｂ^2＋ｕ2ｖ2ａ^2）ｃ^2／（ｖ1^2ｂ^2ｃ^2＋ｖ2^2ａ^2ｃ^2＋ｖ3^2ａ^2ｂ^2）

　中点はｘ＝ｕ＋（ｔ1＋ｔ2）／２・ｖで与えられるが，ベクトルｗを

　　ｗ＝（ｖ1ｂ^2ｃ^2，ｖ2ａ^2ｃ^2，ｖ3ａ^2ｂ^2）

とすると，ｘ・ｗ＝０よりｘとｗが直交することを示すことができる．したがって中点の座標は平面上にある．

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