■ペンローズ・タイルの３次元版
凧と矢を用いたペンローズの非周期的タイル貼りは５回回転対称が現れる．凧と矢よりも２種類の菱形（７２°−１０８°，３６°−１４４°）で代替した方がわかりやすいかもしれないが，ペンローズ・タイルの３次元版が黄金菱形６面体による非周期的空間充填である．
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【１】黄金菱形多面体
黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．
したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．
菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連の多面体と考えることができます．
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【２】ミンコフスキー和
ミンコフスキー和の計算結果についてまとめておきたい．辺の長さを１に規格化した体積を掲げる．
菱形３０面体： ４τ｛（５＋√５）／２｝^1/2
菱形２０面体： ２τ｛（５＋√５）／２｝^1/2
菱形１２面体（第２種）： ４τ／５｛（５＋√５）／２｝^1/2
扁長菱形６面体： ２／５｛（５＋√５）／２｝^1/2
扁平菱形６面体： ２／（５τ）・｛（５＋√５）／２｝^1/2
以下，前節の言明「黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute（扁長菱面体），太めで平たいほうがobtuse（扁平菱面体）と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．」について，体積計算して正しいことを確認しておきたい．
｛（５＋√５）／２｝^1/2を省略して書くと，
Ａ6＋Ｏ6＝２／５（１＋１／τ）＝２τ／５
２（Ａ6＋Ｏ6）＝４τ／５＝Ｂ12
５（Ａ6＋Ｏ6）＝２τ＝Ｆ20
１０（Ａ6＋Ｏ6）＝４τ＝Ｋ30
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【３】準結晶
一方，これと同じ対称性を有する物質も発見され，準結晶と名付けられました．イスラエルの結晶学者シェヒトマンはこのパターンを合金のなかに発見し，２０１２年のノーベル化学賞に輝いています．
結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．
なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．
ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．最近まで，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．
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【４】高次元の準結晶
さらに高次元版を考える上で，ｎ次元の立方体の対称性は有用である．偶数次元立方体，たとえば４次元立方体は正八角形の対称性，奇数次元立方体，たとえば７次元立方体は正七角形の対称性を示すことは，コラム「正多角形の菱形分割」「正多角形の二等辺三角形分割」にも書いたとおりである．
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