［基本原理］２次曲線Γ上に定点Ｐ0を定める．Γ上の任意の点Ｐに半直線Ｐ0Ｐを対応させ（Ｐ0自身にはそこでの接線を対応させ），Ｐ0Ｐが正の実軸となす傾き（偏角の正接）をｔとすると，Γを表す２次式の座標（ｘ，ｙ）はｔの有理関数として表すことができる．

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【１】双曲線の場合

　双曲線ｙ＝√（ｘ^2＋１）に対してはＰ0を（０，１）にとれは不定積分

　　∫√（ｘ^2＋１）ｄｘ

は計算できるが，その計算はかなり複雑になる．それよりもＰ0が無限遠点二いったときの極限として，点Ｐを直線族ｘ＋ｙ＝ｔとの交点として表現すると以下のように簡単に計算できる．

　　ｘ＝（ｔ−１／ｔ）／２，ｙ＝（ｔ＋１／ｔ）／２，

　　ｄｘ／ｄｔ＝（ｔ^2＋１）／２ｔ^2

　　∫√（ｘ^2＋１）ｄｘ＝∫（ｔ^2＋１）^2／４ｔ^3ｄｔ

　＝∫｛（ｔ＋１／ｔ^3）／４＋１／２ｔ｝ｄｔ

　＝（ｔ^2−１／ｔ^2）／８＋１／２ｌｏｇ｜ｔ｜＋Ｃ

　＝１／２｛ｘ√（ｘ^2＋１）＋ｌｏｇ（ｘ＋√（ｘ^2＋１））｝＋Ｃ

　これはなぜ，ｔ＝√（ｘ^2＋１）ではなく，ｔ＝ｘ＋√（ｘ^2＋１）と変数変換すべきか，その根拠を説明している．

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【２】置換y=√(x^2+1)

　ｔ＝ｘ＋√（ｘ^2＋１）ではなく，y=√(x^2+1)として

　　∫√(x^2+1)dx＝∫ydx

を求めてみよう．

　　dy/dx=x/√(x^2+1)=x/y,xdx=ydy

　　∫ydx＝∫y^2／xdy＝∫y^2/√(y^2-1)dy

となって簡単にはならない．

　次に，∫dx/√(x^2+1)=log(x+√(x^2+1)+Cがあらかじめ求まっているとき，

　　∫√(x^2+1)dxは？

を考えてみる．

　　√(x^2+1)＝(x^2+1)/√(x^2+1)=x^2/√(x^2+1)+1/√(x^2+1)

　　x^2/√(x^2+1)=(y^2-1)/y

　　x/√(x^2+1)=√(y^2-1)/y

　　dy/dx=x/√(x^2+1)=x/y,xdx=ydy

　　∫x^2/√(x^2+1)dx=∫(y^2-1)dy/x=∫xdy

となって，∫ydxが∫xdyに変わるだけである．

　　∫√（ｘ^2＋１）ｄｘ＝１／２｛ｘ√（ｘ^2＋１）＋ｌｏｇ（ｘ＋√（ｘ^2＋１））｝＋Ｃ

であるから

　　√(x^2+1)＝(x^2+1)/√(x^2+1)=(x^2+1/2)/√(x^2+1)+1/2･1/√(x^2+1)=1/2･(2x^2+1)/√(x^2+1)+1/2･1/√(x^2+1)

としてみるが，その原始関数

　　｛ｘ√（ｘ^2＋１）｝’＝(2x^2+1)/√(x^2+1)

には気づかないと思う．

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