［１］∫√(x^2+1)dx

［２］∫dx/(x^4+1)

が済んだので

［３］∫1/cosxdx

について考えてみたい．

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　三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．

　しかし，この場合は被積分関数が１／ｃｏｓθであるから，ｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおく．

　すると

　　ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ）＝（１−ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2），

　　ｄθ／ｄｔ＝２／（１＋ｔ^2）

より，

　　∫1/cosxdx＝∫２／（１−ｔ^2）ｄｔ

　ここで，

　　２／（１−ｔ^2）＝１／（１＋ｔ）＋（１／１−ｔ）

より

　　∫1/cosxdx＝ｌｏｇ｜１＋ｔ｜−ｌｏｇ｜１−ｔ｜＋Ｃ

　　∫1/cosxdx＝ｌｏｇ｜（１＋ｔ）／（１−ｔ）｜＋Ｃ

　　∫1/cosxdx＝ｌｏｇ｜ｔａｎ（ｘ／２＋π／４）｜＋Ｃ

　この積分の幾何学的考察についてはわからない．　　（佐藤郁郎）

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