（その２１）の補足に掲げた問題を解いてみたい．

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【１】問題

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＤ／ＤＢ＝ＡＥ／ＥＣ＝ＳＦ／ＦＡ

［Ｑ］正三角形の縮小三角形は正三角形である．ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作るＰ，Ｑ，Ｒの内分比を１：κとすると

　　κ＝ＥＰ／ＰＢ＝λ^2／（１＋λ）

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【２】証明

　相似比を使って解ける．

　　ＢＥ^2＝１^2＋１／（１＋λ）^2−２・１・１／（１＋λ）ｃｏｓ６０°＝１−１／（１＋λ）＋１／（１＋λ）^2

　△ＢＣＭと△ＢＰＤは相似であるから，

　　ＢＰ＝１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＱＥ＝１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＰＱ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ−１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＥＰ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＥＰ／ＰＢ＝（１＋λ）ＢＥ^2−１＝λ^2／（１＋λ）

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