これまでのシリーズの補遺である．

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【１】ワイソフ構成

　３次元正多面体の基本単体を外接球面上に投影すると，合同な三角形（シュワルツの三角形）を描きます．

　　正４面体（自己双対）　　　　　　→　球面２４面体

　　正６面体（正８面体と双対）　　　→　球面４８面体

　　正１２面体（正２０面体と双対）　→　球面１２０面体

　この球面多面体上に１点をとり，すべての稜に関して鏡映すると，それぞれの正多面体群の回転対称性と鏡映対称性をもつ多面体の頂点が得られます．このような構成法をワイソフ構成と呼びます．

　基準点の取り方は単位三角形の内部にあるか，３辺のうちどの上にあるか，３頂点のうちどの上にあるかの７種類あります．７種類の位置に応じてですが，たとえば単位三角形の内部にある場合は[111]で与えられます．切頂８面体は正４面体系の[111]です（Ｖ＝２４，Ｅ＝３６，Ｆ＝１４）

　４次元正多胞体で得られる単位４面体については，内部にあるか，４面のうちどの上にあるか，６辺のうちどの上にあるか，４頂点のうちどの上にあるかの１５種類あり，１５種類のいずれかに決めればすべての頂点の位置を決定することができます．切頂八面体(466)×１０と正六角柱(644)×２０からなる４次元空間充填図形

　　Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０

　　１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２

は正５胞体系の[1111]ということになります．

　同様に，ｎ次元正多胞体で得られる単位ｎ＋１胞体については，２^n−１種類の構成要素ののどこにあるかを決めればすべての頂点の位置を決定することができます．

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【２】ねじれ準正多面体の構成（その１）

　準正多面体の中で，最も例外的なものは２つのねじれ図形（ねじれ立方体とねじれ十二面体）である．ねじれ立方体は立方体を枠組みとして，正方形面が立方体の面上にあるようにして生成することができる．ねじれ十二体は正十二面体を枠組みとして，正五角形が正十二面体の面上にあるようにして生成することができる．

［補］この方程式は整数係数の３次方程式に帰着される．ゆえに，ねじれ準正多面体は定規とコンパスで作図可能ではない．

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【２】ねじれ準正多面体の構成（その２）

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

［１］正二十面体（３，３，３，３，３）は，正四面体の縮小三角形（λ＝１．６１８，黄金比）から生成される（ねじれ角：２２．２３８°）．

［２］ねじれ立方体（３，３，３，３，４）は，正八四面体の縮小三角形（λ＝１．８３９）から生成される（ねじれ角：２０．３１５°）．

［３］ねじれ十二面体（３，３，３，３，５）は，正二十面体の縮小三角形（λ＝１．９４３）から生成される（ねじれ角：１９．５１７°）．

　それそれ（３，３，３，３，ｑ）とすると，λは

　　λ^3−λ^2−λ−１−２ｃｏｓ（２π／ｑ）＝０

の根として計算できる．

［１］ｑ＝３　→　λ^2−λ−１＝０

［２］ｑ＝４　→　λ^3−λ^2−λ−１＝０

［３］ｑ＝５　→　λ^3−λ^2−λ−φ＝０

　ねじれ角は

　　ｔａｎθ＝√３／（１＋２λ）

で与えられる．

［補］ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作るＰ，Ｑ，Ｒの内分比を１：κとすると

　　κ＝λ^2／（１＋λ）

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