５回対称性を示す結晶はあり得ない−−−と少し前までは思われていたのですが，実際に５回対称性を示すものには黄鉄鉱やフラーレンＣ60，また，ホウ素の単体の中には変わり種がたくさんあり，正２０面体上にホウ素原子が１２個ずつ結合したものなどがあります．ウィルスや準結晶なども５回対称性が自然界に実在する例です．
少し前までは自然界にあり得ないとされていた正２０面体がウィルスや準結晶に実在することがわかったように，存在するのに見落としている形は案外多いのかもしれません．コラム「正多面体の木工製作（その５）」で取り上げたねじれ立方体，ねじれ１２面体は他の準正多面体に較べて格段に複雑で，座標の決定や作図も容易ではありませんが，これらの多面体はそれぞれ正８面体群，正２０面体群に属し，面角も古典的結晶学の規則にかなっていますから自然界に存在する可能性はあります．
今回取り上げる「花形十二面体」にもその可能性ありかも・・・と思えるのですが，以下に中川宏さん製作の「花形十二面体」の木工模型を掲げます．Mathematica V2,V3のロゴとして双曲空間における正１２面体が使われていますが，花形十二面体はそれにそっくりです．
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【１】平面充填
まず，正多角形でない多角形による平面充填形について考えてみましょう．ただし非凸な多角形による平面のタイル張り問題は難しいので，ここでは正多角形ではない不規則な凸多角形に限ってみます．
三角形と四角形の場合は凸でなくてもよいのですが，どんな形の三角形，四角形でも平面を過不足なく敷きつめることができます．凸六角形では本質的に異なる３つのタイプの六角形だけが平面を埋めつくします．また，凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものもうまくいきません．
五角形は特に興味津々です．正五角形はどうしても隙間があいてしまいますが，凸五角形では，ホームベース形も含めて，現在，１４種の平面充填形が知られています．六角形に関しては３種類以外のものは存在しないことが示されていますが，五角形に関しては１４種ですべてかどうかはまだ証明されていません．
このような問題はとかくとり漏らしやすいもので，見逃されているものがあるやもしれません．１９７５年にはほとんど数学を学んだことのない主婦ライスが「サイエンティフィック・アメリカン」誌の記事に触発されて，五角形で平面を敷き詰めるパターンでそれまで知られていないものを３種類も発見したほどですから・・・．
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周期的な平面充填に対して，平行移動の周期がない非周期的平面充填についても多くの研究がなされています．最初に発見された非周期的タイルの集合は２０４２６個の原型から構成されているものでした（１９６６年）．
その後，より少ない原型からなるものが発見され，現在のところ，１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．ペンローズタイルと呼ばれるこの敷きつめかたは，正五角形のような５重の対称性がありますが，隙間を生じません．
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【２】空間充填
平面上の敷き詰めに引き続いて，３次元空間の敷き詰め＜結晶＞についてみていきましょう．結晶学の常識では，原子が周期的に配列した結晶物質では２重，３重，４重，６重の対称性しか許されないというのが鉄則・大前提になっていました．
なぜ５重，７重，８重などの対称が結晶に存在し得ないかは，同じ形の多角形のタイルで床を敷き詰める場合を考えると分かります．それは５角形や７角形またはそれ以上の辺数の多角形ではあり得ないし，正五角形は平面を埋めつくすことができないことから容易に理解されるところです．
３次元では５回対称軸をもつ正五角形の役割を正１２面体や正２０面体が果たしますが，正五角形が平面充填形でないのと同様に正１２面体・正２０面体は空間充填形ではありません．
ところが，１９８４年に５重の対称性を示す物質（アルミニウムとマンガンの人工合金）がアメリカのシェヒトマンによって発見され，結晶学の根底は揺るがされ，この大前提は覆されました．それまで知られていた結晶格子はすべて正四面体，立方体，正八面体から導かれていたのですから，それはあたかも誰かが５角形の雪の結晶を発見したような事件であったのです．
この物質はペンローズのタイル貼りと密接に関係していて，ペンローズが始めた５重の対称性をもつ敷きつめを３次元空間に一般化したものであり，ある規則性をもちながら周期配列をしないことから，準周期的結晶，あるいは簡単に準結晶と呼ばれます．最近まで，結晶とアモルファスの両方の物質の状態を共有しそのどちらでもない新しい状態があると思っている人はごく少なかったのですが，この準結晶は両方の性質をもっています．
ペンローズタイルと同様にして，２種類の菱面体（太った菱面体とやせた菱面体）でともに合同な面をもつものを用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができます．これら２種類の菱面体は各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比１：１．６１８［＝（√５＋１）／２］の黄金六面体です．黄金菱面体には２種類あり，細めで尖ったほうがacute（Ａ6），太めで平たいほうがobtuse（Ｏ6）と呼ばれています．
なお，１９９３年に，１種類の凸多面体の非周期的な仕方だけで空間全体を完全に埋めつくすことができる立体「二重プリズム」が英国の数学者コンウェイによって発見されました．その面は４個の合同な三角形と４個の合同な平行四辺形からなっていて，２個の傾斜した三角プリズムを接合したものとみなせます．「二重プリズム」のように平面全体を一種類だけで非周期的に埋めつくすことのできる図形はまだ知られていません．
［補］周期的とは平行対称性をもつもの，準周期的とは平行対称性がないもののうち，鏡映対称性あるいは回転対称性をもつもの，非周期的とは鏡映対称性も回転対称性ももたないものを指す用語です．
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【３】平行多面体による周期的空間充填
平行多面体による３次元空間の充填を考えると，１種類による周期的充填図形すなわち平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体として，立方体，正六角柱，菱形十二面体，長菱形十二面体，切頂八面体があります．以上の５種類を併せてフェドロフ（ロシアの結晶学者）の平行多面体といいます．６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．
平行多面体による空間充填は結晶構造と深く関係していて，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域（ボロノイ領域）は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかないというわけです．
これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以です．なお，２次元格子は５種類あり，それから決まるディリクレ領域も５種類あります．
［補］平行多面体のうち正多面体と同じ対称性をもつ立体は，プラトン立体では立方体，アルキメデス立体では切頂８面体，大菱形立方８面体，大菱形１２・２０面体，アルキメデス双対では菱形１２面体，菱形３０面体があります．また，これらの平行多面体から得られるねじれ立体には，正方形からは正４面体，切頂８面体からは正２０面体，大菱形立方８面体からはねじれ立方体，大菱形１２・２０面体からはねじれ１２面体があります．
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【４】黄金菱形多面体による非周期的充填
３次元空間の周期的充填に対して，非周期的充填には５種類の黄金平行多面体によるものが知られています．
ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．
黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．
したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．
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Ｋ30は１０個ずつのＡ6とＯ6でできるのですが，ところで，２０個のＡ6でできる多面体に「花形十二面体」があります．中川宏さんに木工模型を作っていただいたのですが，桔梗の花に似た凹６０面体であって，中川さんのお話では山頂を結ぶと正１２面体，峠を結ぶと２０・１２面体，谷底を結ぶと正２０面体になっているとのことです．
すなわち，この多面体は５回対称性を有しているのですが，花弁の中心を通る軸が５回対称軸，尖った頂点を通る軸は３回対称軸，花弁の縁の窪みを通る軸が２回対称軸になっているそうです．「花形十二面体」は小川泰先生がペンローズ格子（３次元版）について研究中に見つけられて，命名された多面体とのことでまさしく「黄金の華」です．
［補］３次元の複合正多面体には５種類あります．２個の正四面体が集まるもの（ケプラーの八角星）を除く，５個の正四面体，１０個の正四面体，５個の立方体，５個の正八面体が集まるものは正２０面体と同じ回転対称性をもっています．５個の立方体よりなる複合正多面体に数種類の多面体を貼り合わせても「花形十二面体」ができます．
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【５】まとめ
５回対称性をもった正多角形や正多面体は２次元平面や３次元空間を充填しません．しかし，一定の間隙を許すことにすると平面や空間を無限に連結することができます．４次元空間内で，正１２０胞体あるいは正６００胞体を連結すると周期的にも非周期的にも無限に連結するのですが，その場合，３次元空間内への投影は３次元空間を周期的にも非周期的にも被覆することができます．なお，５次元以上の空間には５回対称性をもった正多胞体は存在しません．
２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．
一般にｎ次元平行多胞体は１種類（あるいは何種類か）でｎ次元空間を周期的に充填するのですが，それを３次元空間内や２次元平面上に平行投影して適当に隠線処理すると平行多面体や平行多角形による非周期的な充填図形が得られることになります．その際，正１０角形を構成する２種類の菱形で構成される準周期性平面充填をペンローズ・パターンというのですが，それに対して，正８角形を構成する２種類の菱形（正方形を含む）で構成される準周期性平面充填はアンマン・パターンと呼ばれるタイル貼りになっています．
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