数学者（幾何学者）はユークリッド空間がでてきたら，次は曲がった空間（多様体）ではどうなるか，曲がった空間でも正曲率（負曲率）のときはどうなるか，負曲率でも曲率が有界（非有界）の場合はどうなるか，知的好奇心の赴くまま考えを進めていくことが王道になっている．その結果，ユークリッド空間の幾何学，ましてや微分をしない幾何学はなおざりにされる運命にある．

　その反面「アルキメデスの時代にユークリッド幾何学は終わった」と数学者が思い違いをしているからだともいえる．

　この意見は専門家からすれば所詮素人の戯れ言かもしれないが，やってみなければわからないというのも事実であろう．最初から期待薄と決めつけてしまってはならないと思う．

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【１】忘れ去られた石井論文

　３次元準正多面体については古くから知られていたが，４次元以上の準正多胞体については，１９世紀中頃，シュレーフリが一部言及したことに始まる．その後，コクセターが詳しく研究したが，５次元以上の準正多胞体についてはコクセターの研究のごく一部に理論的な記述がみられるものの，具体的な研究はこれまで皆無に近かった．そのため，ｋ次元面数ｆkが知られている準正多胞体はほとんど存在しない．

　特殊なクラスについては，ミンコフスキーが原始的平行多面体として取り上げた２（２^n−１）胞体などがあるが，私の知る限り，

　　石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに関する研究」

が具体的で本格的な図形研究の最初のものであろう．

　この論文はこれまで４次元正多胞体までしか研究されなかった多面体論を５次元以上の準正多胞体まで拡張し，さらに５次元以上の準正多胞体を実際に描くことをを試みている．最も斬新な点はその表示法がソリッドモデルであることである．

　それまでのワイヤーフレームモデルは図形を網目として素通しで見るものであるから，複雑な手順を必要としない最も簡単な表示法であった．その反面，表示された図形はリアリティーに欠けるものになってしまう．

　われわれ３次元人は所詮高次元図形を見ることはできないけれど，ソリッドモデルはリアリティーの高い図形を供給してくれるので，見る人のイマジネーションをかき立て，多くのインスピレーションを生み出すことができる．つまり，ソリッドモデルは高次元図形の世界の風景を一変させてくれるのである．

　私は「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに対する研究」を２年ほど前にご本人から謹呈して頂いたのであるが，その考察はすばらしいの一言につきる．このような立派な研究が行われていたことをまったく知らなかったことを恥じ入るばかりであった．

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【２】なぜ忘れ去られたのか？

［１］この論文が主として意図するところが，ワイヤーフレームモデルからソリッドモデルへの表示法の転換に向けられていて，高次元多胞体についての数学的な理解を高める点が従となっている．おそらく，前者に注力するのが当時の要請であって，後者を達成する余裕がなかったのだろう．

［２］単純なワイヤーフレームモデルの表示だけでもかなり難解である．たとえば，ｎ次元立方体を２次元平面上に複数の頂点がなるべく重ならないように座標軸をとる方法は，グラム・シュミットの正規直交化であるが，ほとんど言明されていない．肝心な点に触れられていないところをみると（無論私にとっても難解であるが）指導教官の理解する範囲を超えていたのではないかと思う．

［３］とはいえ，その後も多くの数学者の目には触れたはずである．それでも理解されなかったのは，論文で採用された計算方法がコンピュータ計算向きの方法ではあるが，幾何学的な背景を理解するには不向きで，別の観点からの考

察が必要になるからだと思う．

［４］私はもっと素朴な幾何学的な方法を採用し，たとえば１０次元などもっと次元の高い空間に広げて考えたので，きれいな構造を探しだすことができたのだと思う．ともあれ，高次元準正多胞体の基本計量がいざできあがってみると，かくも簡単な計量がなぜこれまで知られていなかったのか不思議でならないのだ．

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