（その５）と比較されたい．

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［４］焦点を共有する２次曲線

［ａ］任意の２点を与えると，これを焦点とする無数の楕円および双曲線が描ける．このとき，楕円同士，双曲線同士は交わらないが，任意の楕円と双曲線は直交する．

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2±λ）＝１

　共焦点円錐曲線族を考える．点Ｐ（ｘ，ｙ）は直線Ｆ1Ｆ2上にないものとする．点Ｐを楕円と双曲線が通るとき，そのパラメータをλ1，λ2とするとき，

　　Ｐ（λ1，λ2）

を楕円座標と呼ぶ．このとき楕円と双曲線は互いに直交する．

　デカルト座標は楕円座標を使って

　　ｘ^2＝−（ａ^2＋λ1）（ａ^2＋λ2）／（ｂ^2−ａ^2），

　　ｙ^2＝−（ｂ^2＋λ1）（ｂ^2＋λ2）／（ｂ^2−ａ^2）

と表される．

［ｂ］任意の１点とそれを通る直線を与えると，これを焦点対称軸とする無数の放物線が描ける．このとき，向きが異なる任意の放物線は直交する．

　焦点を（ｅ，０）とし，ｘ軸に垂直な準線をもつ放物線族の方程式は

　　ｙ^2＝（ｅ＋λ）（ｘ＋λ）

となる．

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［５］焦点を共有する２次曲面

［ａ］楕円面と一葉双曲線と二葉双曲面は直交曲面をなす．

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2＋λ）＋ｚ^2／（ｃ^2＋λ）＝１

　３次元においては，

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2＋λ）＋ｚ^2／（ｃ^2＋λ）＝１

で，楕円面と一葉双曲線と二葉双曲面を含む．

　　−ｃ^2＜λ＜−ｂ^2のとき，二葉双曲面

　　−ｂ^2＜λ＜−ａ^2のとき，一葉双曲面

　　−ａ^2＜λのとき，楕円面

これら３つの共焦点２次曲面は互いに直交する．

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