あらゆる滑らかで凸な閉曲面には単純閉測地線が３本ある．これはポアンカレによって予想され，１９３０年にリュステルニクとシュニレルマンによって証明された．楕円面の場合，３枚の対称面と楕円面との交わりである．

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　測地線とは局所的に２点間の距離を最小にする経路である．可展面上の測地線は展開後は直線になる．球面上の測地線は大円である．

　楕円面の場合，２次曲面の共焦点族が定義されるが，

［定理］楕円面上の測地線の接線は，楕円面と共焦点な別の２次曲面に接する（シャール・ヤコビの定理）

により非常に規則的である．

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【１】焦点を共有する２次曲線

［１］任意の２点を与えると，これを焦点とする無数の楕円および双曲線が描ける．このとき，任意の楕円と双曲線は直交する．

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2±λ）＝１

［２］任意の１点とそれを通る直線を与えると，これを焦点対称軸とする無数の放物線が描ける．このとき，向きが異なる任意の放物線は直交する．

　焦点を（ｅ，０）とし，ｘ軸に垂直な準線をもつ放物線族の方程式は

　　ｙ^2＝（ｅ＋λ）（ｘ＋λ）

となる．

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【２】楕円ビリヤード定理

　楕円内部のビリヤードの軌跡は，ある共焦点族に属する円錐曲線に接し続ける．

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【３】焦点を共有する２次曲面

［１］楕円面と一葉双曲線と二葉双曲面は直交曲面をなす．

　　ｘ^2／（ａ^2＋λ）＋ｙ^2／（ｂ^2＋λ）＋ｚ^2／（ｃ^2＋λ）＝１

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【４】シャールの定理

　３次元ビリヤードにおいても，楕円ビリヤード定理に相当する定理が成り立ち，ビリヤードの軌跡は２つの異なる２次曲面に接することになる．

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