πa（ｘ）／π（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっています（Hooley,1967）．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されています．

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【１】１０を原始根とする素数

　ａは−１でも平方数でもないものとします．ａが素数ｐに対する原始根とは，ａ^1−１，ａ^2−１，・・・，ａ^p-2−１のどれもｐで割り切れなくて，ａ^p-1−１がｐで割り切れるものを指します．

　たとえば，ａ＝１０はｐ＝３の原始根ではなくて，ｐ＝７の原始根です．あるいは同じことですが，

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　１０を原始根とする１００以下の素数は

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７

の９個，１００以下の素数は２５個ですから，

　　９／２５＝０．３６

で理論値０．３７４によくあっています．

　もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

の循環節の長さは偶数なことに注目し２分して，それを足してみると

　　１４２＋７５８＝９９９

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

の場合は，

　　０５８８２３５２＋９４１１７６４７＝９９９９９９９９

　驚いたことに９が並ぶ．このように分母が７以上の１０を原始根とする素数で循環節の長さが偶数の場合，２分して足すと９が並ぶ．このことを理論的にとりあげたのは，Goodwyn(1801)であるという．

　次は，分子は１に限らないことにして

　　３／７＝０．４２８５７１４２８５７１・・・

　　　　（循環節：４２８５７１の長さ６）

の循環節を２分して，それを足してみると

　　４２８＋５７１＝９９９であるが，循環節を３分して，それを足してみると

　　４２＋８５＋７１＝１９８＝９９×２

　　［参］飯高茂「環論，これはおもしろい」共立出版

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