いわまん。さんの結論は「女の勘は良く当たる」ですが，もうひとつＵ嬢の話を取り上げたいと思います．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　「もうすぐ犯行記念日」（講談社，日本推理作家協会編）の序文である．

『記念日をめぐる不思議なクイズがある．何の記念日でも構わないけど，個人に関わる一番ポピュラーな記念日ということなら，誕生日だろう．

　もし，ここに３０人の構成員からなる集団があって，この中に誕生日の一致するペアが一組以上いるかどうか？　このギャンブルをやるとしたら，あなたはどちらに賭けるだろう．誕生日なんてめったに一致するものじゃないよなあ．まして構成員はたった３０人である．一も二もなくペアは一組もいないほうに賭けるのではあるまいか？

　だが，お立ち会い．これがそうでもない．特定の人を選び，その人と誰かの誕生日が一致する確率は確かに小さい．そう，１／３６５である．３０人の集団の中で一致する確率はすこぶる小さいけど，このことと「３０人の中の誰かと誰かが一致する」こととはまるで違う．

　確率計算はややこしくて，文筆家に向かないから省略するけど，疑う人は数学に堪能な人に尋ねて下さい．構成員が２３人と越えるあたりで一致する確率が５０％を越える．３０人もいようものなら７０％位の確率になる．まして，４０人，５０人ならばさらに高い．構成員３〜４０人の職場を想定したとき，誕生日の一致する確率はまずいるものと考えたほうが妥当である．』

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　このクイズは数多くの本で取り扱われた有名なものであるが，確かに，少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率の大きさには驚かされる．これを読んだＵ嬢が早速小生に疑問を投げかけてきた．ひとつには，この数字が女の直感に反するというものであり，もうひとつには，実際の計算方法を見るまではどうしても合点がいかないというものであった．

　この序文には，おしつけがましく結果だけを書いてあるが，実際問題として，確率計算になれていないと，式の誘導は難しいだろう．とりあえず，信じるものは救われる．ホレ信じなさい．というわけであるが，天下り式で我慢できないかたは，以下の説明を参照しながら誘導を試みられたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　このクイズのトリックは，２人が同じ誕生日である確率は，１／３６５と小さいけれども，３０人もいれば，３０人の中から２人を選び出す組合せ数（３０，２）は，３０×２９／２＝４３５通りもあることである．これであれば，同じ誕生日に生まれたペア数の平均値は４３５／３６５となるから，一組以上のペアができると期待できるのである．一般に，１年はｄ日とし，構成員をｎ人とするとペア数の期待値はｎ（ｎ−１）／２ｄになっていることに注意されたい．

　式を誘導するため，次のような定式化をおこなってみよう．１番目の人と２番目の人が異なる誕生日である確率は１−１／ｄである．また，３番目の人が１番と２番の人と誕生日が異なる確率は，２番目の人は１番目の人と異なる日に生まれたとして，１−２／ｄである．

　したがって，ｎ人全員が異なる誕生日である確率ｐnは，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

となる．求めたい確率ｐは少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率であるから，

　　ｐ＝１−ｐn

　ｄ＝３６５について，ｎ＝２３では求める確率は０．５０７３，ｎ＝３０では０．７１，ｎ＝４０では０．８９にもなる．したがって，ｎ＝３０〜４０だったら少なくとも２人は同じ誕生日であるほうに賭けるほうが賢明であることがわかる．

　また，ｎがｄに比べて小さければ，テイラー展開より

　　１−ｋ／ｄ〜ｅｘｐ（−ｋ／ｄ）

　　Π（１−ｋ／ｄ）〜ｅｘｐ（−Σｋ／ｄ）

Σｋ＝ｎ（ｎ−１）／２であるから，

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）

となる．

　ここで，先ほど説明したペア数の期待値ｎ（ｎ−１）／２ｄが再登場しているが，ペア数の分布は複雑であっても，その平均は単純であり，この近似計算はペア数の分布を平均ｎ（ｎ−１）／２ｄのポアソン分布で近似したものと考えることができる．電卓計算にはポアソン近似のほうが向いていて，たとえば，ｎ＝２３，ｄ＝３６５であれば，ｐ〜０．５０００が得られ，真の値０．５０７３のよい近似となっていることが理解される．

ｎ　　　　２０　　２３　　３０　　４０　　５０

正確な値　0.4114　0.5073　0.7063　0.8912　0.9704

近似値　　0.4058　0.5000　0.6963　0.8820　0.9651

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　医療関係者の中には数学の専門家も感心するほど数学に堪能な方もおられるが，そのような方は多くはないし，医療と研究に追われて，このような問題を吟味する暇もなく，よくわからないまま過ごすことのほうが普通であろう．残念ながら女の直感は外れてしまったが，ともあれ，瑣末な問題にも興味を示したＵ嬢の好奇心は見習いたいものである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝