［参］黒川信重「リーマン予想の先へ」東京図書

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【１】リーマン予想の３つの同値な言い換え

［１］コッホの結果（１９０１年）より，リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」ですが，

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｏｇｘ）

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

　Ｌｉ（ｘ）は対数積分関数と呼ばれますが，π（ｘ）をｘ／ｌｏｇｘで近似するより，対数積分を用いたＬｉ（ｘ）の近似はさらに適切な素数分布の近似式になっています．

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［２］ラガリアスの同値条件（２００２年）

　ｎの約数の和をσ（ｎ）で表し，調和級数のｎ次部分和を

　　Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義します．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）

　このとき，リーマン予想は

　　σ（ｎ）≦Ｈn＋ｌｏｇＨnｅｘｐＨn

がｎ≧１に対して成立すると等価です．

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［３］ロバンの同値条件（１９８４年）

　ｎを無限大にしたとき，調和級数

　　Ｈ∞＝　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．

　したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．

　したがって，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は

　　Ｈn ／ｌｏｇｎ→１　　　（ｎ→∞）

です．

　一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．

　Ｈn −ｌｏｇｎ→γ　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））

　　　　　　　　　　　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１））

　この極限値はオイラーの定数γとして知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．

　オイラーの定数γを用いると，リーマン予想は

　　σ（ｎ）＜ｅｘｐγｎｌｏｇｌｏｇｎ

がｎ＞５０４０に対して成立すると等価です．

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【２】雑感

　［２］［３］は初等的な条件になっていて，リーマン予想に挑戦するならばこのルートからでしょう．

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