■書ききれなかった数の話(その50)

 素数が無限に存在すること・√2が無理数であることは,ギリシア数学のなかでも有名な定理です.それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが,その証明はだれしもが容易に理解できるものです.同様に,調和級数Σ(1/n)が無限大に発散すること

  1/1+1/2+1/3+・・・=∞

も容易に示すことができます.

 それでは,素数の逆数の和

  Σ(1/p)=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+・・・

は有限でしょうか?

(証明)

 調和級数1/1+1/2+1/3+・・・は,オイラー積表示すると

  Π(1−1/p)^-1

と書けますから,

  Π(1−1/p)^-1〜∞.

 また,

  logΠ(1−1/p)=Σlog(1−1/p)

1/pが非常に小さいとき,マクローリン展開より,

  Σlog(1−1/p)〜−Σ(1/p)

ですから,

  Σ(1/p)=∞

になります.したがって,すべての素数の逆数の和は発散することが示されます.

 1737年,オイラーは素数の逆数の和が無限大になることを見つけました.このことから,素数が無限個あることはかんたんにわかります.また,調和級数Σ(1/n)は発散し,また,オイラー級数Σ(1/n^2)=π^2/6で収束しますから,素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります.

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【1】オイラーのゼータ関数(1737年)

 1737年,オイラーは2つのゼータ関数を導入した.

[1]ζ(s)=Π(1−p^-s)^-1

=(1−2^-s)^-1・(1−3^-s)^-1・(1−5^-s)^-1・(1−7^-s)^-1・・・・

=1+2^-s+3^-s+4^-s+5^-s+・・・

[2]L(s)=Π(1−(−1)^(p-1)/2p^-s)^-1

=(1+3^-s)^-1・(1−5^-s)^-1・(1+7^-s)^-1・・・

=1−3^-s+5^-s+7^-s−9^-s+・・・

=Σ(4n+1)^ーs−Σ(4n+3)^ーs

 オイラーはオイラー積の対数をとることによって

  Σ(1/p)=∞

奇素数の逆数の交代和

  Σ(−1)^(p-1)/2/p=1/3−1/5+1/7−1/11+・・・→有限値に収束

することを証明した.

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