【１】テトロミノ問題

（Ｑ）Ｌ字型のテトロミノ

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　　□□□

で，１０×１０のマス目を覆いつくすことができるか？

（Ａ）１０×１０のマス目の奇数行に１，偶数行に５をラベルする．このタイルには８通りの異なる向きがあるが，どのように置いても，タイル上の数の和は８の倍数となる．一方，１０×１０のマス目上の数の和は

　　１０×５＋５０×５＝３００

であって，８で割り切れない．よって不可能．

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【２】ペントミノ問題

（Ｑ）ペントミノは何種類あるか？

（Ａ）ペントミノは１２種類ある．

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□　　　□　　　　□

　　□　□　　□　　　　□　　　　□　　　　□　　　　□□□

　　□□□　　□□　　　□□□　　□□□　　□□　　□□

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　そのうち

　　□　　　　□　　　　　□□□

　　□　　　　□□　　　□□

　　□□□　　　□□　　　

を除く９種類は４個の合同な片に分解できることが確かめられている．しかもその形は一意である．

　　　　　　□□□□

　　　　　　□□□□

　　　　　　□□□□

　　　　　　□□□□

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　　　　　　□□□□

　　　　　　□□□□

　　　　　　□□□□

　　　　　　□□□□

（Ｑ）ペントミノで長方形を敷き詰めることができるものは何種類あるか？　また，長方形を敷き詰めるのに必要な最小枚数は何枚か？

　　□□□□□　　□　　　　　　□　　　　□

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□

　　　（１）　　　（２）　　　（１０）　　（２）

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【３】ｎオミノ問題

（Ｑ）同じ大きさの正方形の辺と辺をつなげたタイルで，正方形をｎ枚使ったものをｎオミノと呼ぶ．ｎオミノは何種類あるか？

（Ａ）回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（５），ペントミノ（１２），ヘキソミノ（３５），ヘプトミノ（１０８），オクトミノ（３６９），・・・．別に数えると，モノミノ（１），ドミノ（２），トロミノ（６），テトロミノ（１９），ペントミノ（６３），ヘキソミノ（２１６），ヘプトミノ（７６０），オクトミノ（２７２５），・・・

　ｎオミノの種類はｎとともに急速に増加する．前者の個数をＰn，後者の個数をＱnと表すと

ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　ｎ　　　　Ｐn 　　　　Ｑn 　　　　

１ 1 1 10 4655 36446

２ 1 2 11 17073 135268

３ 2 6 12 63600 505861

４ 5 19 13 238591 1903890

５ 12 63 14 901971 7204874

６ 35 216 15 3426576 27394666

７ 108 760 16 13079255 104592937

８ 369 2725 17 50107911 400795860

９ 1285 9910 18 192622052 1540820542

　大きなｎに対して

　　Ｑn 〜　ａ^n　　（ａ＝３．７２〜４．５）

　　Ｐn 〜　Ｑn／８

という漸近評価が得られている．

　この数え上げは

　　［参］「スチュアート教授のおもしろ数学入門」日経サイエンス社

から転載したものであるが，漸近評価を含む数え上げについては

　　コラム「飽和炭化水素の構造異性体数」

が参考になる（はずである）．

　ちなみに，長方形を敷き詰めることができるものは

　　モノミノ　　　（１／１）

　　ドミノ　　　　（１／１）

　　トロミノ　　　（２／２）

　　テトロミノ　　（４／５）

　　ペントミノ　　（４／１２）

　　ヘキソミノ　　（１０／３５）

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