三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれている．数学の学習では「この場合にはこうする」といった技法を習うが「なぜそうすればうまくいくのか」といった基本原理にまでは言及されていないのが普通である．もう１歩掘り下げると次の事実がある．　　　（一松信「基本原理を理解すること」より抜粋改編）

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【１】２次曲線のパラメータ表示例

　原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．

　さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると

　　ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ）＝（１−ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2），

　　ｄθ／ｄｔ＝２／（１＋ｔ^2）

より，

　　ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

　　ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）　　　（−１≦ｔ≦１）

と表すことができます．

　単位円上のすべての有理点（座標ｘ，ｙが有理数であるような点）は，ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）とｘ＝−１，ｙ＝０です．

　このように，円の有理点全体は１つの変数ｔによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．実際，ｔ＝ｍ／ｎを代入して展開すると，

　　ｘ＝±（ｍ^2−ｎ^2）／（ｍ^2＋ｎ^2），

　　ｙ＝２ｍｎ／（ｍ^2＋ｎ^2）

となります．

　したがって，ピタゴラス数（ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2：ａ，ｂ，ｃは整数）の組み合わせは，ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2によって，すべて導き出せることがおわかり頂けることでしょう．

　なお，三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．

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【２】基本原理

　上の例では単位円ｘ^2＋ｙ^2＝１という２次曲線について，Ｐ0（−１，０）をとったが，さらにもう１歩掘り下げると次の事実（基本原理）がある．

［基本原理］２次曲線Γ上に定点Ｐ0を定める．Γ上の任意の点Ｐに半直線Ｐ0Ｐを対応させ（Ｐ0自身にはそこでの接線を対応させ），Ｐ0Ｐが正の実軸となす傾き（偏角の正接）をｔとすると，Γを表す２次式の座標（ｘ，ｙ）はｔの有理関数として表すことができる．

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【３】双曲線の場合

　双曲線ｙ＝√（ｘ^2＋１）に対してはＰ0を（０，１）にとれは不定積分

　　∫√（ｘ^2＋１）ｄｘ

は計算できるが，その計算はかなり複雑になる．それよりもＰ0が無限遠点二いったときの極限として，点Ｐを直線族ｘ＋ｙ＝ｔとの交点として表現すると以下のように簡単に計算できる．

　　ｘ＝（ｔ−１／ｔ）／２，ｙ＝（ｔ＋１／ｔ）／２，

　　ｄｘ／ｄｔ＝（ｔ^2＋１）／２ｔ^2

　　∫√（ｘ^2＋１）ｄｘ＝∫（ｔ^2＋１）^2／４ｔ^3ｄｔ

　＝∫｛（ｔ＋１／ｔ^3）／４＋１／２ｔ｝ｄｔ

　＝（ｔ^2−１／ｔ^2）／８＋１／２ｌｏｇ｜ｔ｜＋Ｃ

　＝１／２｛ｘ√（ｘ^2＋１）＋ｌｏｇ（ｘ＋√（ｘ^2＋１））｝＋Ｃ

　これはなぜ，ｔ＝√（ｘ^2＋１）ではなく，ｔ＝ｘ＋√（ｘ^2＋１）と変数変換すべきか，その根拠を説明している．

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