（特殊型を除く）ｎ次元準正多胞体には多くの種類があるが，その中には重要な３つのクラスが存在すると考えられる．まず，それらの製作法を考えると

　　正単体切頂型（２（ｎ＋１）胞体）

　　正軸体切頂型（２^n＋２ｎ胞体）

　　正単体切頂切稜型（２（２^n−１）胞体）

　　正軸体切頂切稜型（３^n−１胞体）

の４クラスの分類されるが，このうち，正単体切頂型はあまり重要な性質を持ち合わせおらず，残りの３つが重要となる．

　　　　　　　　　　　　単独空間充填多面体　　単純ゾノトープ

　　正単体切頂型　　　　　　　　×　　　　　　　　　×

　　正軸体切頂型　　　　　　　　○　　　　　　　　　×

　　正単体切頂切稜型　　　　　　○　　　　　　　　　○

　　正軸体切頂切稜型　　　　　　×　　　　　　　　　○

　とくに，ｎ＝３のとき，空間充填２（２^n−１）胞体と空間充填２^n＋２ｎ胞体は同形（切頂八面体）になることを注意しておく．切頂八面体はすべての次元を通じて唯一，空間充填２（２^n−１）胞体かつ空間充填２^n＋２ｎ胞体という性質をもつ多面体である．このことは３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係している．

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【１】特殊な次元

　正多胞体は鏡映（反転）すると合同になる単体群に分割される．それが基本単体である．正単体では（ｎ＋１）！個，正軸体・立方体では２^nｎ！個の基本単体に分割される．

　ｎ次元正単体の基本単体数は（ｎ＋１）！，ｎ次元正軸体（立方体）の基本単体数は２^n・ｎ！であるが，３次元空間は

　　２^n＋２ｎ＝２（２^n−１）

に加え，

　　２^n・ｎ！＝２（ｎ＋１）！

が等しくなる特殊な次元である．

　さらに，切頂単体と正軸体のファセット数が等しくなる

　　２（ｎ＋１）＝２^n

のも，ｎ＝３である．

　また，３次元と４次元では標準型の正多面体のほかに，散在型正多面体が存在するが，

　　２（ｎ＋１）＝１２，２０，２４，１２０，６００

　　２^n＋２ｎ＝１２，２０，２４，１２０，６００

を調べると，ｎ＝４のとき，

　　２^n＋２ｎ＝２４

が成り立つ．

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【２】多面体の重複

　３次元の正四面体系と正八面体系，４次元の正１６胞体系と正２４胞体系の準正多胞体に重複が存在する．

　　｛３，３｝（０，１，０）≡｛３，４｝（１，０，０）

　　｛３，３｝（１，０，１）≡｛３，４｝（０，１，０）

　　｛３，３｝（１，１，１）≡｛３，４｝（１，１，０）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）≡｛３，４，３｝（１，０，０，０）

　　｛３，３，４｝（１，０，１，０）≡｛３，４，３｝（０，１，０，０）

　　｛３，３，４｝（１，１，１，０）≡｛３，４，３｝（１，１，０，０）

　３次元と４次元で重複が存在する理由は，正四面体（正１６胞体）の辺の中点を結ぶ（切頂する）と正八面体（正２４胞体）ができるからである．

　　｛３，３｝（０，１，０）≡｛３，４｝（１，０，０）

　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）≡｛３，４，３｝（１，０，０，０）

　３次元の場合，正四面体を切頂してさらに切稜することは，正八面体を切頂することと等価である．切頂八面体系は全部で４種類あるが，

　　｛３，４｝（０，１，０）≡｛３，３｝（１，０，１）

　　｛３，４｝（０，０，１）→重複しない

　　｛３，４｝（１，１，０）≡｛３，３｝（１，１，１）

　　｛３，４｝（０，１，１）→重複しない

　４次元の場合，正１６胞体を切頂してさらに切稜（切面）することは，正２４胞体を切頂（切稜）することと等価である．しかし，（結果的に？）正２４胞体を切頂かつ切稜した図形は重複しないので，ここでは，切頂２４胞体系３種類について考える．

　　｛３，４，３｝（０，１，０，０）≡｛３，３，４｝（１，０，１，０）

　　｛３，４，３｝（１，１，０，０）≡｛３，３，４｝（１，１，１，０）

　　｛３，４，３｝（０，１，１，０）→重複しない

　このことから，ｎ（≧５）次元の正単体系と正軸体系の準正多胞体に重複はないと思われる．正単体の頂点数ｎ＋１とファセット数ｎ＋１の合計２（ｎ＋１）が正軸体の頂点数２ｎやファセット数２^nと一致しないからである．　実際，５次元以上の空間ではそのような例は知られていない．

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