二体問題の運動方程式はニュートンによって解かれ，その解はよく知られたケプラーの法則になります．ケプラーの法則では，すべての惑星はどれも太陽を１つの焦点とする同心楕円上を運行し，地球は永久にその楕円軌道を保ちながら太陽の周りを回り続ける周期軌道をとります．このように，二体の系においては軌道が安定するのですが，その系にもう一つ惑星をつけ加えると地球はもはや時計仕掛けのように正確で不変な軌道を保つことができず，カオス的にゆらぎ，ゆがめられてしまいます．

　３体問題を求積法により解くことは不可能であることは，ポアンカレによって証明されています．３体問題は可積分でないばかりかカオスをも生ずるのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】太陽系のなかのカオス

　この問題は天体がそれ以上になるとさらに難しくなります．実際の惑星の運動は，太陽と惑星との二体問題ではなく，他の惑星の重力の影響も絡み合った多体問題になります．太陽系は太陽と９つの惑星が月や小惑星，彗星を伴って運動している大家族・大惑星系であり，その相互作用はかなり複雑となってしまうのです．

　１８８７年頃，最後の万能数学者と呼ばれたフランスの数学者ポアンカレは「すべての惑星は現在の軌道とほとんど同じ軌道上を今後も運動し続けるのだろうか．それとも，太陽系外に飛び去ってしまったり，太陽に衝突する惑星もあるのだろうか．」という太陽系の安定性について研究していました．

　ポアンカレによってスタートした力学系の研究から，多体問題の運動方程式を解くことは極めて難しいことが知られていて，周期的なものだけでなくで，不規則で予測できないもの−−−たとえば有界ではあるが周期的でない軌道や無限軌道−−−が現れることが証明されています．したがって，実際の惑星の運動はケプラーの法則が厳密には成立しないため，非常に複雑な運動になることがわかっていて，３つというごく少数の物体を記述する微分方程式を解くことさえ非常にむずかしく，その軌道計算は簡単には解けないのです．

　それに対するポアンカレの考え方は微分方程式の定量的な厳密解を求めることをあきらめ，微分方程式の解の大域的性質を幾何学的に研究すること，すなわち，解があるかないか，周期的かどうか，構造安定かどうかだけの定性的性質を調べるという位相幾何学的なものでした．現在，式の形でうまく解けなかった３体問題の微分方程式を数値的に解き，それをアニメーションの形で見ることができるようになりましたが，それでもまだ完全な解答には到達しておらず，近似的な結論ですが，「太陽系は安定か」という問いに対しては，大体周期的になる配置と惑星がさまよう出すような配置とが紙一重の差で混ざり合っているという答えが与えられています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　力学系の理論はもともと太陽系の運動を研究するところから出発したのですが，天文学に限らず，素粒子物理学の世界でも事情は同じで，素粒子の数が３つ以上になるとやはり解析的な計算は困難になり，コンピュータを使った近似計算に頼ることになります．しかし，さらに複雑な系ではコンピュータ処理にも適用限界があり，間違った相互作用仮説に基づいて解析すると当然のことながら誤った結論を導くことになるので注意が必要です．場合によってはまったく間違った結果を導く可能性があり，相互作用をどう仮定し，多体問題をどう処理したかによって，いろいろな方程式が提唱されているというのが現状です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】まとめ

　ニュートン力学は「ある時刻での宇宙のあらゆる情報が与えられれば未来はすべて計算できる．」，「世界全体を複雑で巨大な時計仕掛けとみなし，この仕組みを完全に知れば今から世の終わりまですべて見通せるはずである．」という決定論的思想・古典力学的自然観を生み出しました．しかし，実際には三つの天体の運動でさえ誰も予見できないのです．

　１９世紀後半のフランスの数学者ポアンカレは力学系理論の創始者・先駆者として名を知られ，その業績は数学や物理にコミットし深くて広いものがあります．ポアンカレは太陽系の運動に関する研究に関連してトポロジーを開発するとともに，もっとも単純な３体問題ですら厳密解が存在せず，力学系の理論は複雑極まりない軌道が現れる病理的（パソロジカル）な性質をもつことを証明しています．

　ポアンカレは太陽系の安定性に関する議論の中で解の安定性神話の崩壊ともいうべき複雑な現象＜カオス＞を指摘しましたが，太陽系のカオスはとても小さくあたかも解は安定で，コンピュータもなかった当時は目に見える形では示せなかったためほとんど注意を払われることはありませんでした．１９世紀の電子計算機がなかった時代に，米国のニューカムは海王星までの８個の惑星系の安定性を調べるのための八元連立一次方程式の固有値問題を解くのに１０年以上かかったといわれていますから，カオス現象を垣間みていたポアンカレは「心眼」でそれを見ていたということになります．

　ポアンカレによって，簡単な決定論的方程式に従う対象でも未来予測が不可能なことがあることが指摘されたことにより，決定論的プロセスと非決定論的プロセスとの境目はなくなり，決定論と非決定論という二分法は意味を失い，もはや成立しないものになりました．

　この事実は決定論的自然観に変革をもたらすものであり，新たに誕生した非決定論的自然観の中からハイゼンベルクの不確定性原理や物質本体の確率論的解釈をもとにした量子力学的自然観が登場します．ニュートン力学の不満な点を克服するのが統計力学や量子力学であり，これがやがて新しい突破口にもなっていくのですが，今日では，ニュートン的な考え方では捉えきれない非線形現象，カオス現象，フラクタルな現象などがさまざまな分野で発見されており，非線形現象を解析する数学の確立と進展が要請されています．決定論は神話に過ぎず，原則的に自然はカオティックであるのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝