【１】０に収束する２つの関数の比

　微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　０＜ｘ＜π／２のとき，不等式

　　０＜ｓｉｎｘ＜ｘ＜ｔａｎｘ

が成り立つが，これはｘ→０としたとき，ｓｉｎｘ／ｘ→１の証明に用いられる有名な不等式である．

　ここでは別の方法で証明してみる．

　　｜ｓｉｎｘ／ｘ−１｜≦｜｛（ｘ−ｘ^3／６＋ｘ^5／１２０）−ｘ｝／ｘ｜＜｜ｘ^2／６｜

ここで，｜ｘ^2／６｜＜εであるから，ｓｉｎｘ／ｘ→１．

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【２】０に収束する関数と有界振動する関数の積

　ｘ→０としたとき，

　　ｘｓｉｎ（１／ｘ）→０

なぜなら，

　　｜ｘｓｉｎ（１／ｘ）｜≦｜ｘ｜＜ε

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【３】広義積分

　オイラー積分

　　Ｉ＝∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｃｏｓｘ）ｄｘ＝−π／２・ｌｏｇ２

　　Ｉ＝∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝−π／２・ｌｏｇ２

　　∫(0,π)ｘｌｏｇ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝−π^2／２・ｌｏｇ２

（証）

２Ｉ＝∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｃｏｓｘ）ｄｘ＋∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）ｄｘ

Ｉ＝−π／４・ｌｏｇ２＋１／２∫(0,π/2)ｌｏｇ（ｓｉｎ２ｘ）ｄｘ

　＝−π／４・ｌｏｇ２＋１／４∫(0,π)ｌｏｇ（ｓｉｎｔ）ｄｔ

　＝−π／４・ｌｏｇ２＋１／２Ｉ

＝−π／２・ｌｏｇ２

ゆえに，Ｉ＝−π／２・ｌｏｇ２

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【補】オイラー積分

　オイラーはいろいろな工夫をして，

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，広義積分

　　∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています．

　また，これを代入して計算すれば

　　1/1^3+1/3^3+1/5^3+･･･=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

が得られます（１７７２年）．

　このとき，

　　１＋１／３^3＋１／５^3＋１／７^3＋・・・

の値が必要になりますが，この値はζ（3）＝Σ１／ｎ^3 から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋１／４^3＋・・・

　＝（１＋１／２^3＋１／４^3＋・・・）（１＋１／３^3＋１／５^3＋・・・）

　＝１／（１−１／８）・（１＋１／３^3＋１／５^3＋・・・）

より，分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

　さらに，

　　１／１^s−１／２^s＋１／３^s−１／４^s＋・・・

　＝２（１／１^s＋１／３^s＋１／５^s＋１／７^s＋・・・）−（１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）

より，＋，−が交互に出現すると一般式

　　{1-2^(1ｰs)}ζ（ｓ）

を得ることができます．

　オイラーによる

　　ζ（3）=2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

という結果（log2の有理式×π^2）から，ζ（2n+1）は有理数と円周率から四則演算によって得られる数ではないだろうと予想されていますが，証明されてはいません．また，ｌｏｇ２を含むであろうと推測されています．

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