３角形の合同類を指定するには，３つのパラメータ（たとえば３辺の長さ）が必要です．

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【１】リーマン面とモジュライ

　１９世紀になると対称性や合同の概念に変革がもたらされました．２つの図形が合同であるためには，必ずしも通常の意味で同じ形をしている必要はなく，ある決まった関係（たとえばメビウス変換）が両者の間にある場合，同じとみなすと定義します．

　今日ではたとえ大きさや形が違っていても，２つの曲面の間に等角写像が存在する場合，リーマン面としては同じであるとみなします．このような見方でリーマン面を数えてみると，それほど多くはないことをリーマンは発見しました．そして種数（曲面の穴の数）をｇとすると，その曲面は３ｇ−３個の複素数パラメータで記述することがわかりました．この数をモジュライと呼びます．

　ｇ個の穴あき曲面は３ｇ−３個の曲線によって，２ｇ−２個の３つ穴のあいたピースに分解できる（パンツ分解）というわけです．また，リーマン面全体は双曲空間と共通する多くの性質をもっています．

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【１】サーストンの双曲化定理から幾何化予想へ

　１９７７年，若きアメリカ人数学者サーストンは双曲化定理を発表し，数学界を震撼させました．当時知られていたのはすべての２次元曲面はそれを展開すると，球面，ユークリッド平面，双曲平面になるというもので，３次元では２次元と同じことが成り立つとは誰も考えていませんでした．

　しかし，サーストンの定理はまさにその３次元版だったというわけです．その斬新かつ革命的なアイデアに対して，サーストンはフィールズ賞を受賞しました（１９８２年）．

　双曲化定理からはさらに進んで，３次元多様体を分解すると各部には８つの基本的な基本構造がはいり，そのなかでも断然多いのは双曲構造であるという幾何化予想（３次元ポアンカレ予想を特別な場合に含む）を提案しました．

　すべての道が１点に縮むような３次元多様体は３次元球面しかないというのがポアンカレ予想ですが，すべての３次元多様体を作って，ひとつひとつ検証するというサーストンのアプローチは神業的であったといわれています．

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【３】ペレルマンによるポアンカレ予想の解決

　ポアンカレ予想の証明には１００万ドルの賞金がかけられましたが，２００３年，ロシアの数学者ペレルマンによりポアンカレ予想は証明されました．

　証明に用いられた手法は，トポロジーの問題ながら意外にもリッチ流という微分幾何のアイデアでした．当のペレルマンは１００万ドルの賞金もフィールズ賞も辞退し，人々の前から姿を消したことは大きなニュースになりました．

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