１９世紀に大いに発展した理論のひとつに，楕円関数論があります．これは相異なる２つの方向への平行移動に対して不変である関数の理論で，楕円関数はトーラス上に棲んでいると見ることができます．

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【１】単周期関数

　三角関数は周期２πをもつ一変数一周期の実関数です（ｓｉｎ（ｘ＋２π）＝ｓｉｎｘ）．他の周期はその整数倍２ｎπですから二重周期ではありません．指数関数ｅｘｐ（ｘ）も複素数の世界にはいると，オイラーの等式ｅｘｐ（２πｉ）＝１よりｅｘｐ（ｚ＋２πｉ）＝ｅｘｐ（ｚ）ですから周期２πｉをもちますが，これも単周期関数です．

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【２】二重周期関数

　アーベルとヤコビは一変数二重周期の複素関数，すなわち，ｆ（ｚ＋ｐ＋ｑ）＝ｆ（ｚ＋ｐ）＝ｆ（ｚ＋ｑ）＝ｆ（ｚ）を満たすような関数を発見し，さらに，ヤコビは二変数四重周期の関数ｆ（ｚ＋ａ＋ｂ，ｗ＋ｃ＋ｄ）＝ｆ（ｚ，ｗ）を発見しています．このように，複素関数のなかには２重周期をもつものがありますが，これはドーナツ面（円環面）上の関数と見ることができます．なぜなら，ドーナツ面は環状に並べられた円と考えることができるからです．

　アーベルはレムニスケートが複素変数の有理型関数に拡張できることを明らかにし２重周期関数となることを示しました．楕円曲線は複素数射影平面（４次元）内の曲面とみたとき，ドーナツ面と同相（示性数１）で，この関数の研究は楕円関数の研究につながるものであったのです．

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【３】保型関数とメビウス変換

　有理変換（メビウス変換）ｚ’＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）は円を円に変換します．実は，周期性とは有理変換によって不変，すなわち，ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｆ（ｚ）の特別な場合にすぎません．

　有理変換によって不変なこの関数は存在し，保型関数と呼ばれていますが，三角関数は楕円関数の特殊な場合であり，さらに，楕円関数は保型関数の特殊な場合に相当しています．

　楕円積分の逆関数として導入された楕円関数は２つの相異なる周期（二重周期性）をもつ関数で，楕円曲線はこの楕円関数でパラメトライズされる関数ですが，さらに保型関数でパラメトライズされるというのが，有名な谷山・志村予想です．

　不幸にして夭折したアーベルの夢は，楕円関数を超えるような，さらに興味深い超越関数の発見にありました．クラインもポアンカレも，クライン群に関して不変な関数（保型関数）を見つけることの興味をもっていました．後世の人々は多変数の多重周期有理型関数（アーベル関数）や保型関数を発見してその夢を実現させています．

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