前回のコラムでは切頂正２０面体群（１２・２０面体，切頂２０面体，双心切頂２０面体）などについてサイコロの目の出る確率を計算しましたが，計算方法までは示しませんでした．（その２）（その３）において切頂立方体群に対する計算方法をすでに解説していたからです．
しかし，（その２）（その３）で述べた方法は多面体の頂点の座標がすべて明示的に与えられている場合に限られていて，座標が与えられていない場合について述べることはあながち無意味ではないと考えられました．
そこで今回は座標が与えられていない場合の計算方法について説明しますが，これらの立体は切頂正２０面体群として一連のものですから，各面のでる確率を切頂の深さｔの関数として表すことにします．１２・２０面体では・・・，切頂２０面体では・・・，双心切頂２０面体では・・・とまとめて確率計算できた方がなにかと都合がいいのです．
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【１】切頂正２０面体群の計量
辺の長さが１の正二十面体（ｐ，ｑ）＝（３，５）についての諸計量値を求めるには，辺の長さがφの正十二面体（５，３）との相貫体を考えると非常に簡単になります．
Δ^2＝１−ｃｏｓ^2（π／３）−ｃｏｓ^2（π／５）
正二十面体の中心から頂点までの距離（外接球の半径）：Ｒ20
正二十面体の中心から面の中心までの距離（内接球の半径）：ｒ20
正二十面体の中心から辺の中心までの距離：ｌ20
正十二面体の中心から頂点までの距離（外接球の半径）：Ｒ12
正十二面体の中心から面の中心までの距離（内接球の半径）：ｒ12
正十二面体の中心から面の中心までの距離：ｌ12
とおくと，それぞれ
Ｒ12＝ｓｉｎ（π／３）＝√３／４Δ
ｒ12＝ｃｏｔ（π／５）ｃｏｓ（π／３）／２Δ＝（（５＋２√２）／５）^(1/2)／４Δ
ｌ12＝ｃｏｓ（π／５）／２Δ＝（√５＋１）／８Δ
Ｒ20＝φｓｉｎ（π／５）＝φ（１０＋２√５）^(1/2)／８Δ
ｒ12＝φｃｏｔ（π／３）ｃｏｓ（π／５）＝φ／√３・（√５＋１）／２）／２Δ
ｌ20＝φｃｏｓ（π／３）／２Δ＝φ／４Δ
となります．
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【２】rollingの確率
正二十面体を切頂するとその切断面は正五角形になります．その際の切頂比をｔ（０≦ｔ≦２／３）とおくと，
辺の長さ：Ｌ56＝ｔφ
重心から切断面までの距離：Ｈ5＝ｒ12＋（Ｒ20−ｒ12）（１／２−ｔ）
重心から辺の中点までの距離：Ｈ56＝｛Ｈ5^2＋（Ｌ56／２ｃｏｔ（π／５））^2｝^(1/2)
ここで，Ｈ5は重心から正五角形面までの距離，Ｈ56およびＬ56は五角形面と六角形面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ56および長さＬ56という意味です．
それに対して，元の正三角形面は六角形面となり，重心から六角形までの距離Ｈ6，六角形面と六角形面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ66および長さＬ66は，
辺の長さ：Ｌ66＝（１−２ｔ）φ
重心から六角形までの距離：Ｈ6＝ｒ20
重心から辺の中点までの距離：Ｈ66＝ｌ20
で表されます．
正五角形のでる確率Ｐ5は
Ｌ56（Ｈ56−Ｈ5）
六角形面のでる確率Ｐ6は
Ｌ56（Ｈ56−Ｈ6）＋２Ｌ66（Ｈ66−Ｈ6）
に比例することになり，
Ｐ5＋Ｐ6＝１
より，
Ｐ5＝Ｌ56（Ｈ56−Ｈ4）／｛Ｌ56（Ｈ56−Ｈ4）＋Ｌ56（Ｈ56−Ｈ6）＋２Ｌ66（Ｈ66−Ｈ6）｝，Ｐ6＝１−Ｐ5
で計算されることになります．
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【３】tossingの確率
tossingでは切断面（正五角形面）の立体角を求めなければならなりません．そのため計算自体はrollingの方が簡単ですし，rollingしたときの確率の方がより実感に近いと思われます．
正五角形の１辺の長さはＬ56＝ｔφ，対角線の長さはｔφ^2，また，中心から辺の中点までの距離はＨ56ですから，中心から頂点までの距離は
Ｒ0＝｛Ｈ56^2＋（Ｌ56／２）^2｝^(1/2)
となります．
次に，正五角形の辺に対する中心角θ1と対角線に対する中心角θ2を求めたいのですが
ｓｉｎ（θ1／２）＝ｔφ／２Ｒ0
ｓｉｎ（θ2／２）＝ｔφ^2／２Ｒ0
より，
θ1＝２ａｒｃｓｉｎ（ｔφ／２Ｒ0）
θ2＝２ａｒｃｓｉｎ（ｔφ^2／２Ｒ0）
切断面の正五角形のある頂点から対辺に向けて２本の対角線を引くと，正五角形が３個の三角形に分割されます．そして２本の辺と１本の対角線からなる三角形ＡＢＣに対しては，球面三角法の公式
ｃｏｓθ2＝ｃｏｓ^2θ1＋ｓｉｎ^2θ1ｃｏｓＣ
ｃｏｓθ1＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＡ
ｃｏｓθ1＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＢ
が成立しますから
Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ2−ｃｏｓ^2θ1）／ｓｉｎ^2θ1）
Ａ＝Ｂ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ1−ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2）／ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2）
より，球面三角形の面積
Ｓ1＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π
が求まります．
１本の辺と２本の対角線からなる三角形ＸＹＺに対しても，
ｃｏｓθ1＝ｃｏｓ^2θ2＋ｓｉｎ^2θ2ｃｏｓＺ
ｃｏｓθ2＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＸ
ｃｏｓθ2＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＹ
より，
Ｓ2＝Ｘ＋Ｙ＋Ｚ−π
球面五角形の面積は
２Ｓ1＋Ｓ2
これが１２枚あるので
Ｐ5＝１２（２Ｓ1＋Ｓ2）／４π，Ｐ6＝１−Ｐ5
となるというわけです．
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【４】tossingとrollongの確率比較
切頂正２０面体群に対して，ｔ＝１／２とおくと
１２・２０面体（tossing） 五角形面：三角形面＝0.713749：0.286245
１２・２０面体（rolling） 五角形面：三角形面＝0.856054：0.143946
ｔ＝１／３とおくと
切頂２０面体（tossing） 五角形面：六角形面＝0.31379：0.68621
切頂２０面体（rolling） 五角形面：六角形面＝0.229493：0.770507
ｔ＝(7-√5-2√(10+2√5)/3))/(6-2√5)＝0.242947とおくと
双心切頂２０面体（tossing） 五角形面：六角形面＝0.162779：0.837221
双心切頂２０面体（rolling） 五角形面：六角形面＝0.067601：0.93024
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切頂正１２面体群に対しても同様の式を立てて計算すると，ｔ＝１／３で
切頂１２面体（tossing） 十角形面：三角形面＝0.8751：0.1249
切頂１２面体（rolling） 十角形面：三角形面＝0.975902：0.0240984
ｔ＝１／２で
１２・２０面体（tossing） 五角形面：三角形面＝0.713754：0.286246
１２・２０面体（rolling） 五角形面：三角形面＝0.856049：0.143951
が得られました．
切頂正１２面体群では切断面が正三角形となりますから，その分tossingの確率計算は易しくなります．また，１２・２０面体に対しては２つの異なる方法で計算して値が（誤差を除いて）一致したわけですから，ここに掲げた計算結果が正しいことを裏付けてくれます．
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