マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる．

　大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式であるが，ここでは数論的には等価な

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｘｙｚ

について考えてみる．

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【１】マルコフ方程式の解

　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，３，３）のような整数解のみを問題とするが，この方程式の整数解と，次の元で生成される群の間には美しい関係が成り立つ．

　　ａ＝［１，１］　　ｂ＝［１，−１］

　　　　［１，２］　　　　［−１，２］

解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，３，３）はＴｒａ＝Ｔｒｂ＝Ｔｒａｂに対応している．

　ｕ，ｖをこの群を生成する任意の行列の組とすると

　　（Ｔｒｕ）^2＋（Ｔｒｖ）^2＋（Ｔｒｕｖ）^2＝ＴｒｕＴｒｖＴｒｕｖ

が成り立つから，ｘ＝Ｔｒｕ，ｙ＝Ｔｒｖ，ｚ＝Ｔｒｕｖが得られる．マルコフはマルコフ方程式のすべての整数解がこのようにして得られることを示したのである．

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［補］マルコフ予想

　（ｐ，ｑ，ｒ），（ｐ’，ｑ’，ｒ’）をともに整数解とし，ｐ≦ｑ≦ｒ，ｐ’≦ｑ’≦ｒ’と仮定する．このとき，ｒ＝ｒ’ならば，ｐ＝ｐ’かるｑ＝ｑ’である．

　この予想，すなわち，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかはどうかは今日でも有名な未解決問題である．

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