θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）

とおくと，テータ関数に関するヤコビの恒等式（１８２９年）

　　θ（１／ｔ）＝√ｔθ（ｔ）

が成り立ちます．初項１も含めると

　　θ（ｔ）−１／√ｔ・θ（１／ｔ）＝１／２（１／√ｔ−１）

となります．

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【１】離散の世界

　この等式はポアソンの和公式とも呼ばれる有名な等式です．ここではこれを利用して

　　Σ（１５ｎ^2−３０πｎ^4＋８π^2ｎ^6）ｅｘｐ（−πｎ^2）＝０

を証明してみます．

　　θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　θ’（ｔ）＝−πΣｎ^2ｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　θ”（ｔ）＝π^2Σｎ^4ｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　θ”’（ｔ）＝−π^3Σｎ^6ｅｘｐ（−πｎ^2ｔ）

　　Ｆ（ｔ）＝θ（ｔ）−１／√ｔ・θ（１／ｔ）＝１／２（１／√ｔ−１）

　　Ｆ’（ｔ）＝−１／４・ｔ^-3/2

　　Ｆ”（ｔ）＝３／８・ｔ^-5/2

　　Ｆ”’（ｔ）＝−１５／１６・ｔ^-7/2

　これより

　　１５θ’（１）＋３０θ”（１）＋８θ”’（１）＝０

が得られる．

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【２】連続の世界

　　Σ(0,∞)（Ａｎ^2−Ｂπｎ^4＋Ｃπ^2ｎ^6）ｅｘｐ（−πｎ^2）＝０

が成り立つための必要十分条件は（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１５，３０，８）であったが，

　　∫(0,∞)（Ａｔ^2−Ｂπｔ^4＋Ｃπ^2ｔ^6）ｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝０

が成り立つための必要十分条件は？

　ガンマ関数

　　Γ（ｓ）＝∫(0,∞)ｅｘｐ（−ｘ）ｘ^s-1ｄｘ

において，ｘ＝πｔ^2と置換すると，ｄｘ＝２πｔｄｔ

　　Γ（３／２）＝∫(0,∞)ｅｘｐ（−ｘ）ｘ^1/2ｄｘ＝２π√π∫(0,∞)ｔ^2ｘｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝√π／２

→∫(0,∞)ｔ^2ｘｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝１／４π

　同様に

　　Γ（５／２）＝∫(0,∞)ｅｘｐ（−ｘ）ｘ^3/2ｄｘ＝２π^2√π∫(0,∞)ｔ^4ｘｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝３√π／４

→∫(0,∞)ｔ^4ｘｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝３／８π^2

　　Γ（７／２）＝∫(0,∞)ｅｘｐ（−ｘ）ｘ^5/2ｄｘ＝２π^3√π∫(0,∞)ｔ^6ｘｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝１５√π／８

→∫(0,∞)ｔ^6ｘｅｘｐ（−πｔ^2）ｄｔ＝１５／１６π^3

　以上より，４Ａ−６Ｂ＋１５Ｃ＝０

（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１５，３０，８）はこの条件を満たすもののひとつです．しかし，（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１５，３０，８）以外では

　　Σ(0,∞)（Ａｎ^2−Ｂπｎ^4＋Ｃπ^2ｎ^6）ｅｘｐ（−πｎ^2）＝０

は成り立たないのです．

　　［参］佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

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