高次元の準正多胞体に関するMy未解決問題には

［１］２（２^n−１）胞体の体積公式

［２］３^n−１胞体の体積公式

［３］２（２^n−１）胞体の元素の面数公式

などがある．

　［３］が不調な原因も［１］で揚心操作が必要だったからかもしれない．

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【１】２（２^n−１）胞体の元素の頂点数

　正単体の基本単体をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体になる．この多面体のすべての頂点を求めてみたところ，頂点数は２^n個あり，この多面体は超立方体と組み合わせ同値であることが確認された．

　胞数２ｎ，頂点数２^nの多胞体を対称超平面で切半すると，切断面はｎ−１次超立方体（頂点数２^n-1）と組み合わせ同値になることが予想されるが，実際に計算してみると

ｎ　　　切断面　　　　　上　　　　下　　　　　計

３　　　　　４　　　　　２　　　　２　　　　　８

４　　　　　６　　　　　５　　　　５　　　　１６

５　　　　１２　　　　１０　　　１０　　　　３２

６　　　　２２　　　　２１　　　２１　　　　６４

７　　　　４４　　　　４２　　　４２　　　１２８

８　　　　８６　　　　８５　　　８５　　　２５６

９　　　１７２　　　１７０　　１７０　　　５１２

１０　　３４２　　　３４１　　３４１　　１０２４

となって，頂点数２^nが概３等分されていることがわかった．

　２^nは３では割り切れないが，

　　２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝２　　（ｍｏｄ３）

であるから，概３等分されるのである．

ｎ　　　頂点数（Ｖn）

３　　　　４＋２＝６

４　　　　６＋５＝１１

５　　　　１２＋１０＝２２

６　　　　２２＋２１＝４３

７　　　　４４＋４２＝８６

８　　　　８６＋８５＝１７１

９　　　１７２＋１７０＝３４２

１０　　３４２＋３４１＝６８３

　奇数次元→偶数次元：２倍して１引く

　偶数次元→奇数次元：２倍する

　　Ｖn-1≒２（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

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