［参］佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

によると，無理数性の問題には以下のような例題もあるようです．

［Ｑ］ｎを３で割り切れない正の整数とする．このとき３次方程式ｘ^3−３ｎｘ＋１＝０の解はすべて無理数であることを示せ．

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［Ａ］

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^3−３ｎｘ＋１

　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2−３ｎ＝３（ｘ^2−ｎ）

（もしｎが負の整数とするとｆ’（ｘ）＞０となり，ｆ（ｘ）はひとつの実数かいと２つの虚数解をもつため，題意を満たさない）

　　ｆ’（ｘ）＝０→ｘ＝±√ｎ

　　ｆ（√ｎ）・ｆ（−√ｎ）＝（１−２ｎ√ｎ）（１＋２ｎ√ｎ）＜０

→ｆ（ｘ）＝０は異なる３実数解をもつ．

　ｆ（ｘ）＝０が有理数解ｘ＝ｐ／ｑをもつと仮定すると

　　ｑ^3−３ｎｐ^2ｑ＋ｐ^3＝０

　　（ｐ＋ｑ）^3＝３ｎｐ^2ｑ＋３ｐｑ（ｐ＋ｑ）

右辺が３の倍数なので，ｐ＋ｑも３も倍数．ｐ，ｑは互いに素であるから，

　　（ｐ，ｑ）＝（３ｋ＋１，３ｓ＋２），（３ｋ＋２，３ｓ＋１）

　（ｐ，ｑ）＝（３ｋ＋１，３ｓ＋２）のとき，

　　（ｐ＋ｑ）^3＝３ｎｐ^2ｑ＋３ｐｑ（ｐ＋ｑ）

→９（ｋ＋ｓ＋１）^3＝ｎ（３ｋ＋１）^2（３ｓ＋２）＋３（３ｋ＋１）（３ｓ＋１）（ｋ＋ｓ＋１）

→ｎ（３ｋ＋１）^2（３ｓ＋２）は３の倍数でないので，矛盾．

　（ｐ，ｑ）＝（３ｋ＋２，３ｓ＋１）のとき，

→９（ｋ＋ｓ＋１）^3＝ｎ（３ｋ＋２）^2（３ｓ＋１）＋３（３ｋ＋２）（３ｓ＋２）（ｋ＋ｓ＋１）

→ｎ（３ｋ＋２）^2（３ｓ＋１）は３の倍数でないので，矛盾．

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　上記の問題はｎが３の倍数でも同じ結論が成り立つそうです．

［Ｑ］ｎを正の整数とする．このとき３次方程式ｘ^3−３ｎｘ＋１＝０の解はすべて無理数であることを示せ．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝０は異なる３実数解をもつことは変わらない．また，整数係数のｎ次方程式

　　ｘ^n＋ａ1ｘ^n-1＋・・・＋ａn-1ｘ＋ａn＝０

が有理数解αをもつならば，αは整数でａnの約数であることが知られている．

　３次方程式ｘ^3−３ｎｘ＋１＝０に対して，これを適用するとα＝±１となるが，このとき，ｎ＝０，１／３である．したがって，解がすべて無理数となるためには，少なくともｎ≠０，１／３である．よって，題意を満たすのはｎ≧１の整数である（ｎは正整数なので，α＝±１のどちらも起こり得ない）．

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