京都大学の入試問題（２００６年）に

［Ｑ］ｔａｎ１°は有理数か？　無理数か？

という問題が出題されているそうである．

　背理法で証明する，正接の加法定理

　　ｔａｎ（ｘ＋ｙ）＝（ｔａｎｘ＋ｔａｎｙ）／（１−ｔａｎｘ・ｔａｎｙ）

において，ｔａｎｘとｔａｎｙの両者が有理数ならばｔａｎ（ｘ＋ｙ）も有理数である．

　ｔａｎ１°が有理数と仮定すると，ｔａｎ２°も有理数である．ｔａｎ２°が有理数と仮定すると，ｔａｎ３°も有理数である．この操作を繰り返すとｔａｎ３０°も有理数となるが，実際は無理数であるから矛盾する．（もちろん，ｔａｎ６０°も有理数となるから矛盾であるとしてもよい．）→コラム「ｔａｎ１°は有理数か？」参照

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　ｔａｎ１°が無理数であることは加法定理を使って示すことができましたが，ｓｉｎ１°が無理数であることの証明は格段と難しくなります．

　（その２１）で取り上げた問題

［Ｑ］ｓｉｎ１°は有理数か？　無理数か？

を，背理法を使って証明してみましょう．

　ｓｉｎ１°が有理数であると仮定する．３倍角の公式，

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

よりｓｉｎ３°は有理数．次に，５倍角の公式，

　　ｓｉｎ５θ＝１６ｓｉｎ^5−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ

よりｓｉｎ１５°は有理数．

　これは，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は無理数

であることに矛盾する．

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　阪本ひろむ氏よりのコメント．

［Ｑ］ｔａｎ１°は有理数か？　無理数か？

について，さらに考察を続けました．

　なぜ，問題として，tanを使ったか？

［１］sinの加法定理はsin,cosの両方が出てきてしまう．よって，限られた時間内に解くので，受験生にとっては災難．

［２］tanの加法定理はtanのみで表現できる．試験問題は，その後，数学的帰納法と背理法を使って論理性を確かめることを主眼としている．とすれば，関数として，tanをして使ったのは適切だという気がする．

［３］問題を代数的数か？に書き換えてもいいのだが，いかんせん，高校では代数的数の事は教えていないはずだ．

（問題１）x^n + a_1 x^(n-1) + ... + a_n = 0

a_jが代数的数とするとき，全ての解は代数的数であるか？

たぶんOK．ざっと頭の中で考えた感じでは，証明できるようである．無論，既に解決済みの問題だと思われる．

（問題２）

x^n + a_1 x^(n-1) + ... + a_n = 0

a_jが代数的整数とするとき，全ての解は代数的整数であるか？

よく分からんが，解決積みの問題だと思う．

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