（その２１）を補足しておきたい．

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　ｓｉｎ１°が有理数であると仮定する．３倍角の公式，

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

よりｓｉｎ３°は有理数．次に，５倍角の公式，

　　ｓｉｎ５θ＝１６ｓｉｎ^5−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ

よりｓｉｎ１５°は有理数．

　これは，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は無理数

であることに矛盾する．

　高校生ならば三角関数の加法定理を使って

　　ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（６０°−４５°）＝ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°−ｃｏｓ６０°ｓｉｎ４５°＝（√６−√２）／４

を得ることができる．

　中学生でも１：√３：２（３０°，６０°，９０°）の直角三角形の長さ√３の辺を斜辺の長さ２だけ延長させた１：２＋√３：√６＋√２（１５°，７５°，９０°）の直角三角形に対して，ピタゴラスの定理を利用して

　　ｓｉｎ１５°＝（２＋√３）／（√６＋√２）＝（√６−√２）／４

を求めることができる．

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　今から２０００年以上も前の紀元前３世紀，アルキメデスはπの攻略法を初めて考案した人物ですが，まず，円に内接・外接する２つの正六角形を描きました．これだけでπの値は

　　３＜π＜２√３＝３．４６

が得られます．

　さらに彼は円に内接・外接する正９６角形による計算から３・１０／７１＜π＜３・１／７，あるいは小数で表すと３．１４０８４＜π＜３．１４２８５８よりπ＝３．１４という近似値を求めています．

　正９６角形に引き続いて，円の正多角形近似，すなわち，１９２，３８４，７６８，・・・など弧の２等分を繰り返すことによって辺の数を増してπの値が計算されました．ルドルフは正２^42角形の周を計算して円周率を３５桁計算するために一生を費やしました．しかし，円の正多角形近似によって得られるπでは大幅な精度の向上は期待でず，１７世紀まで注目すべき進歩はみられませんでした．ということで，第３期（無限級数，無限積，無限連分数の登場）となります．

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　もし中学生ならば，どれだけπの値を計算できるだろうか？　円の半径を１とするとこの円に内接する正六角形の周囲の長さは６なので，

　　３＜π

が得られる．

　円に外接する正六角形の周囲の長さは，１：√３：２（３０°，６０°，９０°）の直角三角形に対して，ピタゴラスの定理を使って求めることができる．

　　π＜２√３＝３．４６

　アルキメデスは正多角形の辺数を２倍に増やす方法を知っていたので，

　　６→１２→２４→４８→９６

最終的に正９６角形を使って，πの近似値を求めた．

　　３・１０／７１＜π＜３・１／７

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　半径１の円に正十二角形を内接させると，その周長は

　　２４ｓｉｎ１５°

となる．

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４

したがって，

　　π＞３（√６−√２）＝３．１０５８３

を得ることができる．

　半径１の円に正十二角形を外接させると，その周長は

　　２４ｔａｎ１５°

となるが，中学生でも

　　ｔａｎ１５°＝１／（√６＋√２）＝２−√３

を求めることができる．

　　π＜１２（２−√３）＝３．２１５３９

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　半径１の円に正２４角形を内接させると，その周長は

　　４８ｓｉｎ７．５°

となるが，１：２＋√３：√６＋√２（１５°，７５°，９０°）の直角三角形の長さ２＋√３の辺を斜辺の長さ√６＋√２だけ延長させた１：２＋√３＋√６＋√２：ｘ（７，５°，８２．５°，９０°）の直角三角形に対して，ピタゴラスの定理を利用して

　　１^2＋（２＋√３＋√６＋√２）^2＝ｘ^2

　　ｓｉｎ７．５°＝（２＋√３＋√６＋√２）／ｘ

を求めることができる．

　計算はかなり面倒になるが，

　　６→１２→２４→４８→９６

と辛抱強く繰り返せばよいわけである．

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