まず最初に，ｎ個の円が接するあるいは交わる一連の定理（接円定理，交円定理）を紹介するところから始めることにしよう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】数珠つなぎの円板

　１世紀半前（１８５６年）の和算の有名な問題に「数珠つなぎの円板」がある．

（Ｑ）同じ大きさの円がｎ個連結して輪を作っている．円の中心を結んでできる多角形の内側にある面積と外側にある面積を求めよ．

（Ａ）ｎ個の円は互いに重なり合わず接しているから円の中心を結んでできる多角形はｎ角形である．その内角の和はπ（ｎ−２）となるが，内側にある扇形の面積は中心角に比例するから，これは円

　　π（ｎ−２）／２π＝ｎ／２−１

個分の面積に相当する．したがって，外側にある面積は円ｎ／２＋１個分である．

　円が何個つながっていようともｎに関係なく外側の面積は内側の面積よりも常に円２個分広いわけである．このことは少なくとも私にとっては意外な結果であり，いまでも強く印象に残っている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】連接円の連弦循環定理

　前節では円の中心を結んでできる多角形を考えたが，どれかの円周上の点Ｐを勝手にとり，点Ｐから接点を通る連弦を次々に引いていくことを考える．

［１］連接円が偶数個のとき，１周してもとの点Ｐに繋がる．

［２］連接円が奇数個のとき，２周してもとの点Ｐに繋がる．

（Ｑ）同じ大きさの円が２ｎ個連結して輪を作っている．連弦を次々に引いてできる多角形の内側にある面積と外側にある面積を求めよ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　連弦循環定理を以下の２つの定理と対比せよ．

［１］シュタイナーの定理

　小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．

［２］ポンスレーの定理

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】５円定理

　あるひとつの円周Ｃ上に中心をもつ５つの円を５円のそれぞれが隣の円とＣ上に交点をもつようにして描く．５つの円は同じ大きさである必要はない．このとき，もう一つの交点を結ぶと星形五角形となり，その頂点は５つの円周上にある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝