４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表せません．しかし，すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表されるというのが，ラグランジュの定理（４平方和定理）です．
幾何学的に考えると，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．それに対して，半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．
１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，
「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」
ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理，・・・）．これが，有名なウェアリングの問題です．
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ｇ（２）＝４（４平方和定理）は１７７２年ラグランジュにより，ｇ（３）＝９は１９０９年ヴィーフェリッヒによって証明されました．
４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．
２３＝２・２^3＋７・１^3
２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3
そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．（８個の立方数の和としてしか表せない自然数は１５，２２，５０，１１４，１６９，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４の１５個だけである．）
ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって
「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」
ことが肯定的に証明されています．
ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k
ヒルベルトはｇ（ｋ）の値がｋのみによって表されることを証明したのですが，それはｇ（ｋ）の存在のみを証明したのであって具体的な値を決める方法を示したものではありませんでした．
１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．そのあたりからいろいろな研究がなされることになりました．そして，１９四乗数定理：
「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」
は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．
なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きますが，高次形式の理論はまだ発展途上にあり，この最良値を完全に決めることはまだできていません．
とはいっても現在，ｋ≧６でのｇ（ｋ）の値はほぼ決まっていて，
ｇ（６）＝７３，ｇ（７）＝１４３，ｇ（８）＝２７９，
ｇ（９）＝５４８，ｇ（１０）＝１０７９，・・・
したがって，３７五乗数定理だけが残されたことになる・・・と私は記憶していたのですが，
［参］水上勉「チャレンジ！整数の問題１９９」日本評論社
にはｇ（５）＝３７は１９６４年に証明されたとあります．
１７７２年 ｇ（２）＝４
１９０９年 ｇ（３）＝９
１９６４年 ｇ（５）＝３７
１９８６年 ｇ（４）＝１９
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実は，ガウス記号を用いて
ｇ（ｋ）＝２^k＋［（３／２）^k］−２
の式が正しいだろうと予想されています．１≦ｋ≦１０では
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
下界 １ ４ ９ 19 37 73 143 279 548 1079
となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．
ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２
の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラーです（１７７２年）．この不等式の証明は
［参］水上勉「チャレンジ！整数の問題１９９」日本評論社
のＱ１９１（p272）に掲載されています．簡単でいてしかも面白い証明ですの是非お読みください．
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［補］自然数ｎが２つの平方数の和であるための必要十分条件は
「ｎを素因数分解したとき，４ｋ＋３の形の素数が偶数乗で現れる」ことである．
［補］自然数ｎが３つの平方数の和であるための必要十分条件は
「ｎが４^n（８ｋ＋７）の形でない」ことである．
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