２０１２年５月，ヒルツェブルフの訃報を知りました．ヒルツェブルフはドイツの数学者で，マックス・プランク研究所の初代所長を務めました．ご冥福を祈ります．

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【１】ヒルツェブルフの符号数定理

　ヒルツェブルフの符号数定理（指数定理）について紹介することにしましょう．

　Ｍを４の倍数次元の閉じた向きづけ可能な多様体（manifold）Ｍ^4kで，概平行性をもつと仮定する．Ｍの次元をｎとするとき，

　　ｎ＝８なら，Ｍの指数は７で割り切れる

　　ｎ＝１２なら，Ｍの指数は６２で割り切れる

　　ｎ＝１６なら，Ｍの指数は１２７で割り切れる

　　ｎ＝２０なら，Ｍの指数は１４６で割り切れる

　一般に，ｎ＝４ｋ（４の倍数）なら，Ｍの指数は

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk　　　Ｂkはベルヌーイ数

を既約分数になおしたときの分子で割り切れるというのが，ヒルツェブルフの指数定理です．

　ここで，Ｂmはｍ番目のベルヌーイ数を指します．ベルヌーイ数の最初のいくつかを書くと，Ｂ1＝１／６，Ｂ2＝１／３０，Ｂ3＝１／４２，Ｂ4＝１／３０，Ｂ5＝５／６６，Ｂ6＝６９１／２７３０，Ｂ7＝７／６，Ｂ8＝３６１７／５１０，・・・．

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【２】ヒルツェブルフのＬ種数とポントリャーギン類

　多様体Ｍ^4kの符号数がそのＬ種数に等しいというのが，ヒルツェブルフの符号数定理ですが，多様体の符号数はポントリャーギン数の１次結合として表されることが示されていて，任意の多様体のＬ種数は整数ですから，ポントリャーギン数ｐ1［Ｍ^4］は３で割り切れるし，７ｐ2［Ｍ^8］−ｐ1^2［Ｍ^8］は４５で割り切れます．これを用いると，ヒルツェブルフのＬ多項式：Ｌn（ｐ1，・・・，ｐn）におけるｐnの係数が

　　２^(2k)（２^(2k-1)−１）／（２ｋ！）・Ｂk

になることが証明されます．

　こういうわけで，ヒルツェブルフの符号数定理と彼による一般化されたリーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホ・ヒルツェブルフの定理）の出現以来，トポロジストにとってベルヌーイ数とその数論的性質を知ることは大変有益なものになっているのです．

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　ベルヌーイ数は，次のようなベキ級数展開に現れる係数として定義されます．

　　ｘ／（１−ｅｘｐ(-x)）＝１＋１／２ｘ＋Σ(-1)^(k-1)Ｂk／（２ｋ）！ｘ^2k

　同じことですが，ベルヌーイ数は

　　ｘ／ｔａｎｈｘ＝ｘｃｏｓｈｘ／ｓｉｎｈｘ

＝１＋Ｂ1／２！（２ｘ）^2−Ｂ2／４！（２ｘ）^4＋Ｂ6／２！（２ｘ）^6−・・・

　あるいは，ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘより，

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１−１／２ｘ＋Ｂ1／２！ｘ^2−Ｂ2／４！ｘ^4＋Ｂ3／６！ｘ^6−・・・

の係数として得られます．

　　ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘ

は「ヒルツェブルフの等式」と呼ばれていて，左辺はＬ種数の母関数，右辺第１項がリーマン・ロッホ型定理で重要な役悪を果たすトッド種数の母関数を表していて，これらがひとつの等式で繋がっているというわけです．

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