■多角形と外接円(その3)
三角形ABCの外接円の弧BC上に点Pをとる.点Pから3辺(あるいはその延長)に下ろした垂線の足をD,E,Fとすれば,3点D,E,Fは同一直線上にある(シムソンの定理)は,共線定理の例である.
もうひとつの有名な共線定理が「オイラー線」である.三角形ABCの外心O,重心G,垂心Hは同一直線上にあり,
OG:GH=1:2
である.外心O,重心G,垂心Hはオイオン座の三ツ星となっているのである.
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[1]三角形ABCの外心O,重心G,垂心H,外心Oから辺BCに下ろした垂線の足を点Dとすると,
AH=2OD
が成り立つ.
[2]外接円の半径をRとすると
AH^2+BC^2=4R^2
AH^2+BH^2+CH^2+AB^2+BC^2+CA^2=12R^2
OH^2+AB^2+BC^2+CA^2=9R^2
が成り立つ.
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[3]三角形ABCの垂心をH,外接円上の点をPとする.このとき,点Pのシムソン線は線分PHの中点を通る(シュタイナーの定理).
[補]シュタイナーの反転法
反転によって円は円に移る.放物線をその焦点を中心として反転すると,カージオイドに移る.
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