ここでは点Ｑの座標が等差数列をなす切頂切稜正軸体

　　３^n−１−２^(n-1)ｎ胞体

について考えてみよう．

　正軸体系の（１，・・・，１，０）の座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個である．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

単純多面体で辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎとなる．

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【１】置換多面体

　それに対して，置換多面体とは，正単体系の（１，・・・１，１）で，その座標は（ｎ＋１）！，単純多面体で辺数はｎ／２・（ｎ＋１）！，ファセット数は２（２^n−１）である．

　一般に，ａ1＞ａ2＞・・・＞ａnとするとき，（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の添字を置換して得られるｎ！個の点からなる（ｎ−１）次元の多面体は置換多面体（順列多面体）と呼ばれる．とくにａ1＝ｎ，ａ2＝ｎ−１，・・・，ａn＝１の場合を指すこともある

　置換多面体は置換を１回適用することで同じものになる２頂点を辺で結んでできる．たとえば，ｎ＝４の場合の置換多面体で，頂点１３４２と結ばれるのは１４３２，１３２４，３１４２の３頂点である．

　この多面体は単純ゾノトープで，２^n−２個のファセットをもつ．したがって，ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１）！個の頂点と２（２^n−１）個のファセットをもつことになる（２次元置換多面体は六角形，３次元置換多面体は切頂八、面体）．

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）の置換と（１，２，３，・・・，ｎ）の置換．似ているような似ていないような．

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【２】多重比較とシェフェ数

　３群以上で多重比較を行うとき，次の場合を区別しておく必要があります．

　　(1)あらかじめ決めておいた特定の１対に限定して比較する（フィッシャー法）

　　(2)対照群と他群を対にして比較する（ダネット法）

　　(3)２群を対にして，すべての対について比較する（チューキー法）

　　(4)２群の比較ばかりでなく，任意の群を合併したものを含め，すべての対比を行う（シェフェ法）

　たとえば，５群の平均値μ1,μ2,μ3,μ4,μ5の比較を考える場合，μ3-μ4のような１対１の対比（対比較）のみならず，(μ1+μ2+μ3)/3-(μ4+μ5)/2のような３対２の対比が必要になることもあります．すなわち，多重比較には対比較と線形比較の２種類の方法があり，対比較にはフィッシャー法（特定の比較），ダネット法（基準との比較），チューキー法（あらゆる対の比較）などがあり，線形比較のための検定法として，シェフェ法（あらゆる比較）があります．

　すべての対比というと(μ1+3μ3+μ5)-(0.5μ2+4.5μ4)のような意味付け不明のものまで無限に含まれるので，ここでは実際面からいって意味のある対比に絞ってその組み合わせをすべて数えあげてみます．ｇ群の多重比較の場合，対比する組合せ数を求めると，フィッシャー法で１，ダネット法でｇ−１，チューキー法で，nC2=g(g-1)/2，シェフェ法では(3^g+1)/2-2^g 通りになります．チューキー数は多項式関数的に増加しますが，シェフェ数は意味付け可能な組合せだけでも，指数関数的に増加することが理解されます．

多重比較　　　　　 ３群　　　４群　　　５群　　　６群　　ｇ群

フィッシャー数　　　1　　　　1　　　　　1　　　　1　　　　1

ダネット数　　　　　2　　　　3　　　　　4　　　　5　　　　g-1

チューキー数　　　　3　　　　6　　　　 10　　　 15　　　g(g-1)/2

シェフェ数　　　　　6　　　 25　　　　 90　　　301　 (3^g+2^(g+1)+1)/2

　　３^n−１−２^(n-1)ｎと(3^n+2^(n+1)+1)/2．似ているような似ていないような．

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