【１】平行多面体

　世の中には無限多くの形があるが，話を単純にするためにここでは「結晶」に限定しよう．結晶は２３０種類あることが知られている．空間での等長変換は平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．

　２３０種類にせよ２１９種類にせよ，これでもかなりの数だが，少し目線を引いて結晶格子を遠くからみてみよう．じっと眺めていると面白い事実に気づく．離散から連続へ，そしていつも特定の形の凸多面体が現れるのである．

　ここで現れる結晶格子に対応する本質的な配置はディリクレ領域と呼ばれるものであるが，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる形（平行多面体）になっている．

　平行多面体についての第１の問題は，まずどれだけの種類があるかであるが，ロシアの結晶学者フェドロフによって，５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−−しかないことが証明されている（１８８５年）．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．

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　すなわち，平行多面体は結晶構造と深く関係していて，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体しかない．ついでにいうと，

［１］２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在する．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．これに対応する平行多面体は２種類ある．

［２］３次元空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

これに対応する平行多面体は５種類ある．

［３］４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在する．これに対応する平行多面体は５２種類ある．

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【２】平行多面体の弱定理から強定理へ

　平行多面体元素定理から派生した定理（予想）を２つ．

［１］任意の多面体はひとつの平行多面体で概近似可能である（弱平行多面体予想）．

［２］任意の多面体が一元素分割可能ならば，その多面体はフェドロフ多面体に分割可能（縮約可能）である（強平行多面体予想）．

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