小生Ｓと同僚のＵ嬢との対話である．今度は噛み合っただろうか？

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Ｓ：南へ５００歩，東に５００歩，北に５００歩歩いたら，元の場所に戻ってしまいました．そのとき，クマに出会いました．さて，クマの色は？

Ｕ：シロ．

Ｓ：なかなかしゃれた問題だろ？　実はロシアの物理問題集に載っている有名な問題なのだ．

Ｕ：どこが？

Ｓ：次はイヌの問題．Ａさんの前方１００ｍの地点にＢさんがいて，ＡさんがＢさんを追いかけたとする．Ａさんの犬はいつも前方にいるＢさんに向かって同じスピード１ｍ／ｓで進み，Ｂさんに追いついたところで，今度はＢさんからＡさんに向かって走り出し，ＡさんがＢさんに追いつくまで往復運動を繰り返す．ＡさんがＢさんに追いつくまで５分かかったが，この間にイヌは何ｍ走っただろうか？

Ｕ：？？

Ｓ：わからないのも無理はない．この問題は有名な科学者（フォン・ノイマン）が間違えた問題として有名な（悪名高き）問題である．ゆっくり考えれば誰でもわかるのだが，答えは３００ｍになる．

Ｓ：それでは次の問題はわかるだろうか？　１辺の長さ１００ｍの正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さ１ｍ／ｓで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．犬達が正方形の中心で出会うのにどれくらいの時間がかかるか？

Ｕ：？？？

Ｓ：（犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しいから，１００秒が正解．なお，このとき犬のたどる軌跡は等角らせんとなる．等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになる．）

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［補］等角らせんとは

　　ｒ＝ａ＾θ　　　（あるいはｒ＝ａｅｘｐｋθ）

により表される曲線で，動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，対数らせんとも呼ばれています．

　昆虫には太陽光線に対して一定の角度を維持しながら飛ぶという習性があり，（太陽光線は平行光線とみなせるので日中は問題ないが）夏の夜，街灯や集蛾灯の回りをぐるぐる飛び回る虫の飛跡は等角らせんとなります．

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