【１】ｎ次元の球と立方体の投影面積比

　次に，ｎ次元単位超球に外接するｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）を２次元平面上に直投影した際の面積比について考えてみましょう．

　半径１の円に外接する１辺の長さが２の正方形を２次元に投影すると，楕円に外接する平行四辺形となります．したがって，投影方向に関わらず，その面積比はπ：４です．

　また，半径１の球に外接する１辺の長さが２の立方体を平面に投影すると，楕円体に外接する平行六面体となりますが，面積比が最大となるのは，２次元同様，影の形が円に外接する正方形となるときで，その面積比は

　　π：４

です．

　一方，面積比が最小となるのは１本の対角線が投影平面に垂直，もう１本の対角線が投影平面と平行になるときで，そのとき，立方体は対角線の長さが２√３の正６角形の形に投影され，この正６角形は半径√３の円に内接しますから，その面積は

　　３^2ｓｉｎ（π／３）＝９／２

球はその等方性により投影面積はπですから，両者の比は

　　π：９／２

になります．

　２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできます．ｎ次元立方体を２次元平面に直投影すると，半径√ｎの円に内接する正２ｎ角形となりますから，その最小投影面積比は

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）

で与えられます．

　ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（π／ｎ）→π／ｎ

ですから，投影面積比の最小値は

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）≒π：ｎπ＝１：ｎ

となることもわかります．

　この上限と下限には大きな差があります．しかし，次元が高くなるにつれて，ある対角線が平面に垂直，別の対角線が平面と平行に投影される確率は大きくなりますから，投影面積比はπ：４よりも，

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）　〜　１：ｎ

に近づくことが直観されるところです．積分に自信のある方は，厳密な平均値を求められてみては如何でしょうか．

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