「ねじれ立方体」「ねじれ１２面体」には平行な対面をもたない面があり，大変作りにくい立体である．

　また，「ねじれ立方体」「ねじれ１２面体」の存在は他の準正多面体よりも初等的でない．その座標は３次方程式の解になり，定規とコンパスで作図可能ではない，すなわち，それは正多面体にどんな簡単な操作を施しても構成できないし，左手系と右手系があるという意味でも他のアルキメデス立体とは異なっているからである．

　「ねじれ立方体」の木工製作は難関であるが，三重県在住のいわまん。さんから，「ねじれ立方体の木工製作」のメイキングビデオが送られてきた．他の多面体のメイキングビデオもシリーズで作成する予定であるという．

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【１】ねじれ立方体の計量

　ねじれ立方体の構成する方法を考えてみよう．原点を中心とする辺の長さ２の立方体の各面に頂点（+/-ａ，+/-ｂ）（+/-ｂ，-/+ａ）の傾いた正方形があり，立方体の外から眺めたときつねに同じ向きになるように置く．したがって，傾いた正方形の頂点の座標は（ａ，ｂ，１）などとなる．

　傾いた正方形の頂点を線で結ぶと，６個の正方形と３２個の三角形面よりなる図形が得られる．この，ａ，ｂについての方程式は３次方程式になり，定規とコンパスで作図可能ではないが，この方程式を解くことでねじれ立方体を構成することができる．

(1)正方形面の頂点の座標：（ａ，ｂ，１）

　この頂点は［３，３，３，３，４］型であるが，正方形面の中心の座標と４つの正三角形面の中心の座標は，それぞれ

(2)正方形面の中心の座標：（０，０，１）

(3)正三角形面の中心の座標：

　　（ａ／３，（ａ＋ｂ＋１）／３，（ａ＋２）／３）＝（.18123,.613096,.847897）

　　（（ａ＋ｂ＋１）／３，（ａ＋ｂ＋１）／３，（ａ＋ｂ＋１）／３）＝（.613096,.613096,.613096）

　　（（ａ＋２）／３，ａ／３，（ａ＋ｂ＋１）／３）＝（.847897,.18123,.613096）

　　（（ａ＋ｂ＋１）／３，−ａ／３，（ａ＋２）／３）＝（.613096,-.18123,.847897）

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【２】ねじれ立方体の性質

　ところで，正多面体の頂点は外接球上に分布していますが，どの２点の最短距離もできるだけ大きくなるような点の分布をなしているとは限りません．たとえば，６個あるいは１２個の点の分布はそれぞれ正八面体と正２０面体になりますが，８個の点については立方体にはならないからです．

　さらに，正則な配置問題だけでなく，任意の不規則な配置も考慮に入れられるのですが，たとえば，７個の点の球面最小距離を最大にするミニマックス問題，マックスミニ問題となるとどうしてよいのやらわかりません．

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［１］球面上の点配置のミニマックス問題

　コラム「幾何学的不等式への招待（その４）」で述べたことを使うと，ミニマックス問題の解は，ｎ＝４，６，１２の場合には，それぞれ正４面体，正８面体，正２０面体の頂点に一致するような配置が導かれます．

　ｎ＝８の解は，ちょっと考えると立方体になりそうですが，そうではなく，単位球に内接し８個の頂点をもつ反プリズム（２個の正方形と８個の正三角形からなる）になります．

　ｎ＝２４ではアルキメデスの多面体であるねじれ立方体（３，３，３，３，４）の頂点，すなわち，ねじれ立方体の２４個の頂点は外接球面上にＳ4変換群となるように分布していますが，これらはどの２点の最短距離もできるだけ大きくなるような点の分布をなしているというわけです．

　ｎ＝２０は未解決のまま残っています．ｎ≦１２とｎ＝２４のときだけ正確な答えが知られているのですが，ｎ＝３，４，６，１２はトート，ｎ＝５，７，８，９はシュッテとファン・デル・ヴェルデン，ｎ＝１０，１１はDanzer, Hars, Boeroeczky，ｎ＝２４（ねじれ立方体）はシュッテとファン・デル・ヴェルデンが予想し，１９５９年にロビンソンによって解かれました．ｎ＝５は正八面体の６頂点から１点を除いた５点，ｎ＝１１は正二十面体の１２頂点から１点を除いた１１点．）

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［２］球面上の点配置のマックスミニ問題

　一方，マックスミニ問題の解は，ｎ＝６のとき，正則な二重ピラミッドの頂点，ｎ＝１２のとき，反プリズム的二重ピラミッドの頂点であることが導かれています．二重ピラミッドとは，プリズムあるいは反プリズムの底面および上面にそれぞれひとつずつピラミッドをおくときにできる立体です．

　ｎ≦７とｎ＝１０，１２，１４のときだけ正確な配置が知られています．

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