Ｈの行列式｜Ｈ｜は，

　　｜Ｈ｜＝ｈp1Δp1＋ｈp2Δp2＋・・・＋ｈpnΔpn　　（ｐ行についての展開）

　　｜Ｈ｜＝ｈ1qΔ1q＋ｈ2qΔ2q＋・・・＋ｈnqΔnq　　（ｑ列についての展開）

　また，行列式は全固有値の積と一致します．

　　｜Ｈ｜＝λ1λ2・・・λn（＝平行多面体の体積）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］対角行列の場合

　　｜Ｈ｜＝ｈ11Δ11＝ｈ22Δ22＝・・・＝ｈnnΔnn

　　　　　＝ｈ11ｈ22・・・ｈnn（＝平行多面体の体積）

　　Δ11＝｜Ｈ｜／ｈ11＝ｈ22・・・ｈnn（＝平行多面体の面積）

　　Δ11＝｜Ｈ｜／ｈ11＝ｈ22・・・ｈnn（＝平行多面体の面積）

　　Δ11^2＝｜Ｈ｜^2／ｈ11^2

　　ΣΔjj^2＝Σ｜Ｈ｜^2／ｈjj^2

　　（ΣΔjj^2）^1/2＝｜Ｈ｜（Σ１／ｈjj^2）^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］非対角行列の場合

　　｜Ｈ｜＝ｈ11Δ11＋ｈ12Δ12＋ｈ13Δ13

　　Δ11^2＋Δ12^2＋Δ13^2＝？

　　Δ21^2＋Δ22^2＋Δ23^2＝？

　　Δ31^2＋Δ32^2＋Δ33^2＝？

　たとえば，

　　　　［１，１，１］

　　Ｈ＝［０，１，１］

　　　　［０，０，１］

の場合，

　　｜１，１｜^2＋｜０，１｜^2＋｜０，１｜^2＝１

　　｜０，１｜　　｜０，１｜　　｜０，０｜

　　｜１，１｜^2＋｜１，１｜^2＋｜１，１｜^2＝２

　　｜０，１｜　　｜０，１｜　　｜０，０｜

　　｜１，１｜^2＋｜１，１｜^2＋｜１，１｜^2＝２

　　｜１，１｜　　｜０，１｜　　｜０，１｜

より，

　　　　　［√２，０，０］

　　Ｈ’＝［０，√２，０］

　　　　　［０，　０，１］

　各対角成分は法線ベクトルの大きさを示しているのであって，Ｔ’は正規化する操作をしていると考えられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］固有値・固有ベクトル

　ｎ次正方行列Ｈ＝｛ｈij｝に対して，ベクトルｘと定数λが存在して，

　　Ｈｘ＝λｘ

となるとき，この定数λを固有値，ベクトルｘを固有値λに対する固有ベクトルといいます．すなわち，Ｈをかけることが単なる定数倍になるようなうまい方向ｘが行列Ｈの固有ベクトルであり，そのときの定数λが固有値です．

　固有ベクトルとは，線形変換によって，方向が変わらないベクトルにほかなりませんし，その際の拡大・縮小率が固有値であると言い換えることもできましょう．

　単位行列をＥと書いて，

　　｜Ｈ−λＥ｜＝０

を展開してλの次数の順に書き直すと，λについてのｎ次方程式（特性方程式）

　　ｐn（−λ）^n＋ｐn-1（−λ）^n-1＋・・・＋ｐ0＝０

が得られます．ただし，

　　ｐn＝１

　　ｐn-1＝ｈ11＋ｈ22＋・・・＋ｈnn＝ｔｒ（Ｈ）

　　ｐn-r＝Ｈの中のｒ次の主対角小行列式の和

　　ｐ0＝｜Ｈ｜

　また，特性方程式のλにＨを代入し，定数項は定数×Ｅとすることによってできる行列の多項式

　　ｐn（−Ｈ）^n＋ｐn-1（−Ｈ）^n-1＋・・・＋ｐ0Ｅ＝Ｏ

が，ゼロ行列Ｏ（全成分が０の行列）に等しくなるというのが，「ケイリー・ハミルトンの定理」です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝