ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフとみなすことができるので，ｋ次元胞の数は（ｎ＋１，ｋ＋１）である．

　正五角形に対角線を描き入れると星形五角形（ソロモンの星）ができるが，正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれる．この図形が４次元正単体の２次元投影図であることを知っている人は少ないだろう．

　正ｎ角形にすべての対角線を引くことを考える．ｎが偶数のときは中心では必ず対角線が交わるので穴は開かない．ｎが奇数のとき穴は開くが，ｎが大きくなると，穴はどんどん小さくなる．

　ｎ次元正単体の場合は，正ｎ＋１角形にすべての対角線を引くことと同じである．したがって，ｎが奇数のときは中心では必ず対角線が交わるので穴は開かない．ｎが偶数のとき穴は開くが，ｎが大きくなると，穴はどんどん小さくなるのである．

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　　ｘk＝ｃｏｓ（２（ｋ−１）π／（ｎ＋１））

　　ｙk＝ｓｉｎ（２（ｋ−１）π／（ｎ＋１）），　　ｋ＝１〜ｎ＋１

　　［ｘ1，・・・，ｘn］＝Ｒ［ｖ1，・・・，ｖn］＝Ｒｖ

　　［ｙ1，・・・，ｙn］

　　［ｚ1，・・・，ｚn］

　　［・・・・・・・・］

　　［ｗ1，・・・，ｗn］

　この場合，

　　ｖ1＝［１／２，−√３／６，−√６／１２，−／２√１０］

　　ｖ2＝［−１／２，−√３／６，−√６／１２，−／２√１０］

　　ｖ3＝［０，√３／３，−√６／１２，−／２√１０］

　　ｖ4＝［０，０，√６／４，−／２√１０］

　　ｖ5＝［０，０，０，√（２／５）］

直交回転行列は

　　［ｘ1，・・・，ｘ4］＝［１，.309018，-.809016，-.809019］

　　［ｙ1，・・・，ｙ4］ ［０，.951056，.587787，-.587783］

　　［ｚ1，・・・，ｚ4］ ［.647936，-.400448，.647936，０］

　　［ｗ1，・・・，ｗ4］ ［.393338，.514884，-.0751214，.757981］

　　［ｘ1，・・・，ｘn］ｖ^-1＝Ｒ

　　［ｙ1，・・・，ｙn］

　　［ｚ1，・・・，ｚn］

　　［・・・・・・・・］

　　［ｗ1，・・・，ｗn］

として，Ｒｖ1〜Ｒｖ5を結ぶと単体ができあがる．

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【１】正単体

　線分，三角形，四面体（三角錐）はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形であるが，次元数ｎより１つ多い数の頂点によって作られる高次元図形を単体（シンプレックス）と呼ぶ．線分は一次元単体，三角形は二次元単体，三角錐は三次元単体とも呼ばれる所以である．

　ｎ次元正単体の場合，

　　頂点数：　ｎ＋１，

　　稜数：　　（ｎ＋１）ｎ／２，

　　三角形数：ｎ（ｎ^2−１）／６

である．すなわち，各頂点からはｎ本の稜がでて，すべての頂点を結ぶと単体ができあがることになる．

　ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

としよう．これらの頂点間距離は√２である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｘ−１）^2＋（ｎ−１）ｘ^2＝２

すなわち，

　　ｎｘ^2−２ｘ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｘ＝｛１±√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　あるいは同じことであるが，頂点を原点に平行移動させ，ｎ個の頂点の座標を

　　Ｖ1（０，０，０，・・・，０）

　　Ｖ2（ａ，ｂ，ｂ，・・・，ｂ）

　　Ｖ3（ｂ，ａ，ｂ，・・・，ｂ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（ｂ，ｂ，ｂ，・・・，ａ）

とするｎ次元単体（ａ＞ｂ＞０）を考えることができる．ここで，各辺の長さが１であるとすれば

　　ａ^2＋（ｎ−１）ｂ^2＝１，２（ａ−ｂ）^2＝１

が成り立つので，これを解いて

　　ｂ＝｛√（１＋ｎ）−１｝／ｎ√２

　　ａ＝ｂ＋１／√２

を得ることもできるだろう．

　以下には，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

とした場合の正単体を描くためのプログラムを掲載する．

5720 '

5730 ' *** 正単体 ***

5740 '

5750 *SIMPLEX:

5760 T=1:' [non-stochastic]

5770 FOR IS=1 TO M:EDGE(IS)=SQR(T*AZ(IS,IS)):NEXT IS

5780 '

5790 FOR IS=1 TO M

5800 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

5810 S(IS)=1:GOSUB *VERTEX:GXS=GX:GYS=GY

5820 '

5830 FOR JS=1 TO M

5840 IF JS=IS THEN 5880

5850 FOR KS=1 TO M:S(KS)=0:NEXT KS

5860 S(JS)=1:GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

5870 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

5880 NEXT JS

5890 '

5900 FOR KS=1 TO M:S(KS)=(1-SQR(1+M))/M:NEXT KS

5910 GOSUB *VERTEX:GXE=GX:GYE=GY

5920 LINE(GXS,-GYS)-(GXE,-GYE),7

5930 NEXT IS

5940 RETURN

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