０次元の点がまっすぐ動くと１次元の線分になる．１次元の線分が平面の上で自分と直角の方向に同じ長さだけ動くと，２次元の正方形になる．２次元の正方形が３次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，３次元の立方体となる．この３次元立方体が４次元空間の中で自分と直角方向に１辺の長さだけ動くと，同じ大きさの８個の立方体からなる４次元の立方体（正８胞体）になる・・・．

　こうしてｎ次元立方体ができあがるが，ｎ次元立方体（正２ｎ胞体）を２次元平面上へ正２ｎ角形を外殻とするように直投影することができる．すなわち，正方形（２次元立方体）を平面に投影すると正方形，３次元立方体を投影すると正六角形，４次元立方体を投影すると正八角形になる．

　３次元立方体の８つの頂点を第４の方向に１単位だけ平行移動することにより，４次元立方体の３次元投影図を描くことができるからである．一般に，ｎ次元立方体の投影図は正２ｎ角形となることがおわかり頂けるであろう．

　次に，投影図形の中央に穴が開くかどうかに注目してみよう．正方形（２次元立方体）を平面に投影した場合は穴が開く．３次元立方体の平面投影図は三角形が６つ合わさった形になり，穴は開かない．４次元立方体の平面投影図には穴が開く．

　これについては，ｎが２のベキ（ｎ＝２，４，８，１６，・・・）のとき，中止部に穴が開く．

　一方，正ｎ角形にすべての対角線を引くことを考える．ｎが偶数のときは中心では必ず対角線が交わるので穴は開かない．ｎが奇数のとき穴は開くが，ｎが大きくなると，穴はどんどん小さくなる．

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［Ｑ］正ｎ角形にすべての対角線を引くと，対角線の交点数は？

［Ａ］正ｎ角形の対角線に多重交点がなければＩ＝nＣ4となります．ｎが奇数の場合は多重交点がないのでこれが正解ですが，ｎが偶数のときは中心では必ずｎ／２本の対角線が交わります．

　また，ｎが６以上の偶数の場合は必ず多重交点が存在します．多重度は最大でも７を超えないことが確認されていて，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．

　この後は代数的な議論に加え，煩雑な場合分けと例外処理が必要となります．ここで，関数

　　δm（ｎ）＝１　　（ｎはｍの倍数）

　　δm（ｎ）＝０　　（それ以外）

を用います．すなわち，ｎがｍの倍数ならば１，それ以外ならば０となる関数です．

　正ｎ角形の対角線の交点数の公式には，

　　ｍ＝２，４，６，１２，１８，２４，３０，４２，６０，８４，９０，１２０，２１０

が出現し，次のようなものになります．

　　Ｉ＝nＣ4＋（−５ｎ^3＋２４ｎ^2−７０ｎ＋２４）／２４・δ2（ｎ）＋３ｎ／２・δ4（ｎ）＋（−４５ｎ^2＋２６２ｎ）／６・δ6（ｎ）＋４２ｎ・δ12（ｎ）＋６０ｎ・δ18（ｎ）＋３５ｎ・δ24（ｎ）−３８ｎ・δ30（ｎ）−８２ｎ・δ42（ｎ）−３３０ｎ・δ60（ｎ）−１４４ｎ・δ84（ｎ）−９６ｎ・δ90（ｎ）−１４４ｎ・δ120（ｎ）−９６ｎ・δ210（ｎ）

　たとえば，

　　Ｉ（６）＝１３

　　Ｉ（１２）＝３０１

　　Ｉ（１８）＝１８３７

　　Ｉ（１８０）＝４０８４１４６１

　また，正ｎ角形をすべての対角線で分断したときの断片数は，

　　Ｒ＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４＋（−５ｎ^3＋４２ｎ^2−４０ｎ−４８）／４８・δ2（ｎ）−３ｎ／４・δ4（ｎ）＋（−５３ｎ^2＋３１０ｎ）／１２・δ6（ｎ）＋４９ｎ／２・δ12（ｎ）＋３２ｎ・δ18（ｎ）＋１９ｎ・δ24（ｎ）−３６ｎ・δ30（ｎ）−５０ｎ・δ42（ｎ）−１９０ｎ・δ60（ｎ）−７８ｎ・δ84（ｎ）−４８ｎ・δ90（ｎ）−７８ｎ・δ120（ｎ）−４８ｎ・δ210（ｎ）

　　Ｒ（６）＝２４

　　Ｒ（１２）＝４４４

　　Ｒ（１８）＝２４６６

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