これまで，

［１］空間充填２^n＋２ｎ胞体

［２］空間充填２（２^n−１）胞体

［３］３^n−１胞体

を取り上げたが，ここでは点Ｑの座標が等差数列をなす切頂切稜正軸体

［４］３^n−１−２^(n-1)ｎ胞体

について考えてみよう．

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　正軸体系の（１，・・・，１，０）の座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個である．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

単純多面体で辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎとなる．

　それに対して，置換多面体とは，正単体系の（１，・・・１，１）で，その座標は（ｎ＋１）！，単純多面体で辺数はｎ／２・（ｎ＋１）！，ファセット数は２（２^n−１）である．

　正軸体系の（１，・・・，１，０１）は置換多面体としばしば誤解されるが，平行多面体とも混同されているようだ．

ｎ　　　３^n−１−２^(n-1)ｎ　　　２（２^n−１）

２　　　　　　４　　　　　　　　　　　　６

３　　　　　１４　　　　　　　　　　　１４

４　　　　　４８　　　　　　　　　　　３０

５　　　　１５２　　　　　　　　　　　６２

６　　　　５３６　　　　　　　　　　１２６

であって，正軸体系の（１，・・・，１，０）は２次元・３次元では空間充填図形であるが，４次元以上ではそうはならない．

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