３次元と４次元は重複が存在する特殊な次元である．３次元と４次元で重複が存在する理由は，正四面体（正１６胞体）の辺の中点を結ぶと正八面体（正２４胞体）ができるからである．しかし，５次元以上の空間ではそのような例は知られていない．

　この性質が証明されているのがどうかは知らない．

［１］正軸体系の最小ファセット数は２^n＋２ｎである．

［２］正単体のファセット数はｎ＋１である．

　　２^n＋２ｎ＞ｎ＋１

より，正軸体を切頂しても正単体にはならない．

［３］切頂単体のファセット数は２（ｎ＋１）である．

　　２^n＋２ｎ＞２（ｎ＋１）

より，正軸体を切頂しても切頂単体にはならない．

［４］正単体系の切頂・切稜体の最大ファセット数は２（２^n−１）である．

　　２^n＋２ｎ＜２（２^n−１）

であるから，正軸体を切頂すると切頂切稜単体になる可能性がある．

　３次元と４次元では，正四面体（正１６胞体）の辺の中点を結ぶと正八面体（正２４胞体）ができる，すなわち，正単体（正軸体）の切頂で他の正多胞体はできる．しかし，５次元以上の空間では，正単体の切頂で正軸体・立方体はできないことは［１］より主張できることになる．

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　幾分経験則的であるかもしれないが，しっかり確立されたものとみなすことにすると，以下の定理が成り立つ．

　ワイソフベクトルはｎ次元ベクトル

　　ｍ＝（ｍ0，ｍ1，・・・，ｍn-1）

　　ｍiは０または１で，同時に０であってはならない

として表記することができる．

　したがって，その種類は２^n−１あり，ワイソフベクトルを決めると，ｎ次元準正多胞体がひとつ定まる．

【定理１】ひとつのｎ次元原正多胞体から構成されるについて，ｎ次元準正多胞体の種類は（原正多胞体も含め），２^n−１種類ある．ただし，原正多胞体が自己双対の場合は，２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１種類となる．

　３次元・４次元では，正単体から構成されるｎ次元準正多胞体と正軸体から構成されるｎ次元準正多胞体などの間には重複するものがあるが，５次元以上では重複するものは知られてない．

【系１】ｎ（≧５）次元準正多胞体の種類は（原正多胞体も含め），２^n＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−２種類となる．

　３次元では２（２^n−１）＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１種類となる．

　４次元では２（２^n−１）＋２（２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１）種類となる．

　ｎ次元準正多胞体を細分類したい．正軸体系切頂型は２^n＋２ｎ胞体，正単体系切頂型は２（ｎ＋１）胞体となるもので，それ以外を切頂切稜型と呼ぶことにする．

【系２】準正多胞体を切頂型と切頂切稜型に分類すると，切頂型の種類は（原正多胞体も含め），２ｎ−１種類ある．原正多胞体が自己双対の場合はｎ種類となる．

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