【１】ハッセの局所・大域原理

　整数係数の多項式ｆ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）≡０　　（ｍｏｄ　ｐ^k）がすべての素数ｐとすべてのｋに対して解をもち，かつ，ｆ＝０が実数解をもつとき（局所解をもつとき），ｆ＝０は整数解あるいは有理数解をもつか？（大域解をもつか？）

　ハッセの局所・大域原理とはすべての局所解の存在が大域解の存在を与えることをいう．

［１］ハッセの局所・大域原理は２次形式に対して成り立つ（ハッセ・ミンコフスキーの定理）

　しかし，すべての多項式の集合に対して成り立つわけではない．

［２］１９４２年，ライヘルトは３元４次形式

　　ｘ^4−１７ｙ^4−２ｚ^4＝０

はすべての局所解をもつが大域解をもたないことを証明した．

［３］セルマーは３元３次形式

　　３ｘ^3＋４ｙ^3＋５ｚ^3＝０

など，このような例を多数与えた．

　　ｘ^4−１７−２ｙ^2＝０

　ハッセの局所・大域原理の適用範囲は未解決問題として残されたままである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】２次形式

［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．すなわち，

「ｘ^2＋ｙ^2＝ｎと表されるための必要十分条件は，ｐ＝３　（ｍｏｄ　４）なるｎの素因数ｐが偶数ベキであることである．」

［２］３平方和の定理

　　「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」

　ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．

［３］バシェ・ラグランジュの定理

　「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，「バシェ・ラグランジュの定理」です．驚くべきことに，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】３元２次形式（ルジャンドルの定理）

　ａ，ｂ，ｃは非零の有理整数で，平方因子をもたず，どの２つも互いに素で，すべてが同符号でないとき，

　　ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2＝０

であることが，−ｂｃ，−ｃａ，−ａｂがそれぞれａ，ｂ，ｃを法とする平方剰余であることと同値である．

　ルジャンドルの定理は３変数の一般的なハッセ・ミンコフスキーの定理と同値である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】シュバレーの定理

　定数項が０の整数係数の多項式ｆ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）≡０　　（ｍｏｄ　ｐ）はすべての素数ｐに対して自明でない解をもつ．

［例］４元２次形式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2＝０　　（ｍｏｄｐ）

はすべての素数に対して自明でない解をもつ．これはラグランジュの定理の中心をなす事実である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝