【１】エルミートの不等式（正定値ｎ元２次形式の最小値の上界）

　ガウスは正定値２元２次形式

　　Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（ｘ，ｙは整数）

に座標軸のなす角の余弦がｂ／√ａｃのとき，ある点Ｐと原点との距離の２乗であるという幾何学的解釈を与えている．これにより全平面は平行四辺形の格子に分割され，Ｄ＝｜ｂ^2−ａｃ｜は基本平行四辺形の面積の２乗に等しくなる．３元２次形式の場合は，平行四辺形は平行六面体に置き換えられる．

　　Ｐ＝Σａijｘiｘj　　　（ａji＝ａij）

で与えられた判別式Ｄをもつ正定値ｎ元２次形式Ｐにおいて，係数を連続的に変化させると最小値もまた連続的に変化する．エルミートは正定値ｎ元２次形式の最小値の上界が

　　（４／３）^(n-1)/2｜Ａ｜^1/n　　　（エルミートの不等式）

であることを示した．

　エルミートはさらに２（｜Ａ｜／（ｎ＋１））^1/nで置き換えられるであろうと予想したが，コルキンとゾロタレフはこれよりも最小上界に近い他の上界を得ている．

　　ｎ＝２　→　（４｜Ａ｜／３）^1/2

　　ｎ＝３　→　（２｜Ａ｜）^1/3

　　ｎ＝４　→　（４｜Ａ｜）^1/4

　　ｎ＝５　→　（８｜Ａ｜）^1/5

その後，ブリヒフェルトが

　　ｎ＝６　→　（３｜Ａ｜／６４）^1/6

　　ｎ＝７　→　（６４｜Ａ｜）^1/7

　　ｎ＝８　→　（２｜Ａ｜）^1/8

を証明した．

［補］隣接行列式｜Ｂ｜とおくと，格子群の基本領域の体積Ｖと最短距離ｄは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｂ｜＝１＝Ｖ^2

より求められることになる．

　隣接行列式を展開すると，

　　｜Ａ2 ｜＝３，｜Ａ3 ｜＝４，｜Ｄ4 ｜＝４，｜Ｄ5 ｜＝４，

　　｜Ｅ6 ｜＝３，｜Ｅ7 ｜＝２，｜Ｅ8 ｜＝１

が得られる．それでは，

　　｜Ａn ｜＝？，｜Ｄn ｜＝？，｜Ｅn ｜＝？

はどうだろうか．

　　｜Ａn ｜＝１＋ｎ

　　｜Ｄn ｜＝４

　　｜Ｅ6 ｜＝３，｜Ｅ7 ｜＝２，｜Ｅ8 ｜＝１

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【２】ミンコフスキーの不等式（正定値ｎ元２次形式の最小値の上界）

　ミンコフスキーもｎ元２次形式を考え，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが

　　Ｍ＜Ａn｜Ａ｜^1/n　　　（Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）

で与えられることを証明しました．この結果はエルミートのものより精密です．

　ガンマ関数の漸近表示を用いれば

　　Ｍ＜２ｎ√ｎπｅ^1/3n／πｅ・｜Ａ｜^1/n〜０．２３４ｎ√ｎπｅ^1/3n・｜Ａ｜^1/n

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【３】数の幾何学とミンコフスキーの格子点定理

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

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【４】一般の格子に対するミンコフスキーの格子点定理

　ｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積

　　｛λ1ｘ1＋λ2ｘ2＋・・・＋λnｘn：０≦λi≦１｝

について述べておきます．

　写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となります．また，グラミアン

　　Ｇ＝｜Ａ｜^2

が成立しますから，平行２ｎ面体のｎ次元体積は

　　｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜

で与えられます．

　したがって，Λを体積Δをもつ格子とすると

ミンコフスキーの定理から，

　　（中心対称凸体の体積）＞２^nΔ

ならば，内部あるいは境界上に格子点が必ず存在することになります．

　単位球の体積：Ｂ^n＝π^n/2／Γ（ｎ／２＋１），ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2≦λ^2の体積はλ^nＢ^nですから，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが

　　Ｍ＜Ａn｜Ａ｜^1/n　　　（Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）

で与えられることが証明されます．この結果はエルミートのものより精密です．

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