１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2

＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６

＝７０^2

　級数の公式：Σｋ^2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．

　さらに，高次元化して

Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s＝ｍ^s

の解について考察してみてもおもしろいかと思われます．この和の中にｓ乗数はあるでしょうか．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ベキ和とベルヌーイ数

　ベルヌーイ数Ｂn が

　　Σ１／ｎ^s＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・

の計算に重要な役割を果たしていることは以前にも述べましたが，ベルヌーイ数は元来，ベキ和

Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために考案されたものです．

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3 ＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Σｋ^4 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5 ＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7 ＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）ですが，Σｋ^sはＢn を含む一般式の形で表すことができます．

　具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．ベルヌーイ数列｛Ｂn｝の指数型母関数はｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

＝Ｂ0／０！＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・

＝ΣＢnｘ^n／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂn はベルヌーイ数と呼ばれます．

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

　これより，Ｂ0＝１，Ｂ1 ＝−１／２で

ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ（ｘ）＋１）／（ｅｘｐ（ｘ）−１）

は，偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．

　ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n−Ｂ＾n＝０

が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋（ｎ−１）^s＝｛（ｎ＋Ｂ）^s+1−Ｂ^s+1｝／（ｓ＋１）

において，右辺は展開したあとＢ^mをベルヌーイ数Ｂmで置き換えます．

　たとえば，ｓ＝１のときは

　　１^1＋２^1＋３^1＋・・・＋（ｎ−１）^1＝｛ｎ^2＋２Ｂ1ｎ｝／２

Ｂ1＝−１／２より

　　１^1＋２^1＋３^1＋・・・＋（ｎ−１）^1＝ｎ（ｎ−１）／２

ｓ＝２のときは

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ−１）^2＝｛ｎ^3＋３Ｂ1ｎ^2＋３Ｂ2ｎ｝／３

Ｂ1＝−１／２，Ｂ2＝１／６より

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ−１）^2＝ｎ（ｎ−１）（２ｎ−１）／６

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝