先日，宮崎興二先生の監修による

　　石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」（京都大学学術出版会）

が出版されました．２次元の多角形，３次元の多面体から始まって，高次元の多胞体に至るまでのことが書かれてあります．内容はちょっと難しいのですが，図がとてもきれいです．

　高額（5600円）なので普段であれば本屋の立ち読みで済ませるのですが，中川宏さんの勧めもあって購読してみたところ，準正多面体，半正多面体とその高次元版についての記事が他に類書がなく印象に残りました．今回のコラムではこの本の宣伝を兼ねて，準正多胞体を中心として解説することにしたいと思います．

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【１】準正多面体とその高次元版

　準正多面体（アルキメデス立体）は，正多面体（プラトン立体）と同じ回転対称性をもちながら２種類以上の面が規則的に配列されている立体である．アルキメデスの立体は１３種類あり，１１種類は正多面体と同じ回転対称性と鏡映対称性をもち，２種類は正多面体と同じ鏡映対称性をもたないねじれ型である．準正多面体は外接球と稜接球をもつが内接球はもたない．

　正多面体の各辺の中点を頂点とする準正多面体に立方八面体と１２・２０面体がある．前者は立方体と正八面体，後者は正１２面体と正２０面体の中間に位置する準正多面体である．３次元正多面体の切頂によって，２種類の正多角形からなる準正多面体ができるが，切頂の深さがその頂点と辺の中点との間にあるもの，辺の中点にあるもの，辺の中点を越えたものがあり，結局，ひとつの正多面体からそれに双対な正多面体に至るまで３段階の準正多面体があることになる．

　たとえば，

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→切頂八面体←→正八面体

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→正２０面体

と３段階を経過して変化する．

　しかし，自己双対な正四面体の場合は

　　正四面体←→切頂四面体←→正八面体←→切頂四面体←→正四面体

となり，２種類の多面体が繰り返しながら現れるのみである．このように正四面体は厄介な存在なのである．

　当該の書籍では稜の中点に頂点を置くものを準正型（狭義の準正多面体）とし，それ以外の切頂型を切頂型（狭義の半正多面体）としている．この意味で１３種類あるアルキメデス立体をさらに分類してみると

　　(1)準正型：２種類（立方八面体，１２・２０面体）

　　(2)切頂型：５種類（切頂四面体，切頂立方体，切頂八面体，切頂１２面体，切頂２０面体）

　　(3)準正多面体の切頂型：２種類

　　(4)添加型：菱形立方八面体など２種類

　　(5)ねじれ型：ミラーの多面体など２種類

となる．

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　準正多胞体とは，母体となる正多胞体と同じ回転対称性と鏡映対称性をもち，２種類の胞が各頂点と各辺の周りに一定の状態で集まる多胞体である．ｎ次元正多胞体において，ｎ−１次元側胞以外の構成要素の中心を頂点とする多胞体がｎ次元準正多胞体となる（ｎ−１次元側胞以外の構成要素の中心を頂点とする多胞体はｎ次元正多胞体の双対図形である）．準正多胞体は外接ｎ次元球と稜接ｎ次元球をもつ．

　４次元の準正多胞体では，ひとつの正多胞体体からそれに双対な正多胞体に至るまで

　　(1)その頂点と辺の中点との間にあるもの

　　(2)辺の中点にあるもの

　　(3)辺の中点と側面の中心の間にあるもの

　　(4)側面の中心にあるもの

　　(5)側面の中心と胞の中心の間にあるもの

の５段階の（広義の）準正多胞体があることになる．

　４次元多胞体は正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類ある．

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

　正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当するものである．

　４次元の準正多胞体では，ひとつの正多胞体からそれに双対な正多胞体に至るまで５段階の準正多胞体があることは前述したが，自己双対な正５胞体と正２４胞体では本質的に３段階の変化があるのみである．正８胞体（４次元立方体）では５段階を経過して双対図形の正１６胞体に変化するが，稜に中点に頂点を置くものはは正２４胞体に一致する．正１２０胞体は５段階を経過して双対図形の正６００胞体に変化する．

　４次元空間の場合，稜の中点に頂点を置くもの，側面の中心に頂点を置くものが狭義の「準正多胞体」である．ここでは狭義の意味で用いることにするが，側面の中心に頂点を置くものはその双対多胞体の稜の中点に頂点を置くものと一致するから，結局，４次元の狭義の準正多胞体は正（５，８，２４，１２０，６００）胞体のそれぞれの稜の中点に頂点を置く５種類あることになる．

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　五次元以上のｎ次元の場合は，２ｎ個の頂点と２^n個の胞をもつ双対立方体（三次元では正八面体），２^n個の頂点と２ｎ個の胞をもつ立方体，ｎ＋１個の頂点とｎ＋１個の胞をもつ正単体（三次元では正四面体）の３つですべての正多面体をつくしている．

　　　　　　　　境界胞体　　　　頂点　　　双対性　　対応

（ｎ＋１）胞　　ｎ胞体　　　　　ｎ＋１　　自己双対　正４面体・５胞体

２ｎ胞体　　（２ｎ−２）胞体　　２^n　　　２^n胞体　立方体・８胞体

２^n胞体　　　　ｎ胞体　　　　　２ｎ ２ｎ胞体　正８面体・１６胞体

　５次元以上のｎ次元空間には正五角形や正十二面体に相当する５回対称性をもった正多胞体は存在しない．逆にいうと，三次元の場合はこれらの他に２つの正多面体＜正十二面体と正二十面体＞があり，四次元の場合は他に３つ＜２４胞体，１２０胞体，６００胞体＞あるといったほうがわかりやすいかもしれない．

　これまでの話から，一般に

　　(1)ｎ次元立方体は（２ｎ−３）段階を経て双対立方体に変化すること

　　(2)ｎ次元正単体には（ｎ−１）段階の準正多胞体があること

が理解されるであろう．

　５次元準正多胞体では，３次元側胞の中心に頂点を置くものは双対正多胞体の稜の中点に頂点を置くものと一致するから，（狭義の）準正多胞体は稜の中点に頂点を置くもの，側面の中心に頂点を置くものだけを数えると２＋３＝５種類，６次元準正多面体では，３次元側胞の中心に頂点を置くものは双対正多胞体の面の中心に頂点を置くものと一致し，４次元側胞の中心に頂点を置くものは双対正多胞体の稜の中点に頂点を置くものと一致するから，（狭義の）準正多胞体は２＋４＝６種類あることになる．

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【２】半正多胞体

　半正多胞体を２種類以上の胞が各頂点の周りに一定の状態で集まるものと定義すると，準正多胞体はそのうち各辺の周りの状態も一定となった特殊例と考えることができる．

　準正多面体の定義は人によっていろいろなのであるが，アルキメデスの立体に，アルキメデスの正角柱（Archimedean prism：上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの），アルキメデスの反角柱（Archimedean antiprism：アルキメデスの正角柱を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたもの）を加えることもある．正４角柱は立方体と，反３角柱は正八面体と一致する．

　これらは各々無限個存在することから，アルキメデスの立体からは通常除外されるが，これらを含めることにして，２種類以上のｎ−１次元多胞体，準正多胞体，半正多胞体が各頂点のまわりに一定の状態で集まった多胞体がｎ次元半正多胞体である．半正多胞体も外接ｎ次元球と稜接ｎ次元球をもつ．

　４次元空間内の半正多胞体は

　　(1)準正型：５種類

　　(2)切頂型：９種類

　　(3)添加型：２５種類

の合計３９種類がある．さらにこれに特殊型としてゴセットのねじれ２４胞体，コンウェイの大反角柱などが加わる．同様に，５次元半正多胞体では

　　(1)準正型：５種類

　　(2)切頂型：６種類

　　(3)添加型：３６種類

の合計４７種類あり，無数個の特殊型が加わる．

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【３】星形正多角形とその高次元版（星形正多胞体）

　正多角形の辺を延長すると星形の正多角形が得られますが，そのとき，辺が一連になって一つの多角形を作る場合と２つ以上の多角形に分かれる場合があります．前者を星形正多角形，後者を雪型多角形といいます．

　構成法を変えると，星形正多角形（ｎ／ｄ角形）は，正ｎ角形の頂点をｄ個おきにとってできる図形です．ソロモンの星は５／２角形，ダビデの星は６／２角形となるのですが，ｎとｄが互いに素でないとき，ｎ／ｄ個のｄ角形に分かれます．たとえば，正５角形からは星形（ソロモンの星）が，正６角形からは雪型（ダビデの星）が得られます．ダビデの星はイスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされているのに対し，ソロモンの星はピタゴラス派のシンボルマークで黄金比と関係しています．ダビデはソロモン王の父ですが「ソロモンの指輪」は名著として定評があるのでご存知の方も多いと思われます．

　２次元平面上で正ｎ角形（ｎ≠３，４，６）の辺を伸ばしていくと，星形正多角形が生まれるというわけですが，３次元空間内で正多面体（≠正四面体，立方体，正八面体）の面を広げていくと４種類の星形正多面体が生まれます．これがケプラー・ポアンソの立体ですが，３次元星形正多胞体が４通りしかないことは，１８１１年，コーシーによって証明されています．

　同様に，４次元空間内で正１２０胞体と正６００胞体の胞を広げていくと，１０種類の星形正多胞体が生まれます．４次元星形正多胞体が１０通りであることは，１９１５年，ファン・オスが不完全ながら証明し，１９３１年，コクセターにより完全な証明が与えられました．

　５次元以上のｎ次元空間では正２０面体，正６００胞体系の多胞体がないこともあって，まだ見つかっていません．というより５次元以上の星形正多胞体は不可能なのでしょう．

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【４】雪形正多角形とその高次元版（複合正多胞体）

　２次元平面上の正多角形の辺を伸ばしていくと，２種類以上の正多角形が重なっていると考えられる雪型の正多角形が得られます．３次元空間内の正多面体の面を広げていくと２種類以上の正多面体が相貫しあっていると考えられる雪型の正多面体が得られます．たとえば，２つの正４面体を逆向きに抱き合わせた星形８面体「ケプラーの８角星」は，２４面すべてが正三角形よりなるものの，星形正多面体には通常加えられず，正多面体からも除外されます．

　ケプラーの８角星は雪型正多面体（複合正多面体）に分類されるのですが，複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたものであって，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりします．雪型正多面体は全部で５種類あり，ケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものとなっています．残りの４つは以下のものです．

　　正４面体を５つあわせたもの（頂点は正１２面体）

　　正４面体を１０個あわせたもの（頂点は正１２面体）

　　立方体を５つあわせたもの（頂点は正１２面体）

　　正８面体を５つあわせたもの（頂点は正２０面体）

　複合正多面体（雪形正多面体）は５通りであることが知られていますが，４次元雪形正多胞体は４６通りあります（コクセター，１９３３年）．

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（問）同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形の外側と内側にそれぞれ６角形ができる．それでは，同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるだろうか？

　この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単ですが，勘の働きにくい問題です．

（答）正８面体を芯として，このとき，ケプラーの８角星の頂点は立方体の頂点をなすというのが正解です．

　立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみると，立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．（正多面体とその双対多面体との共通部分は，正８面体，立方８面体（６・８面体），１２・２０面体です．）

　したがって，菱形十二面体は立方体と正八面体，菱形三十面体は正十二面体と正二十面体を合成した立体ということができます．菱形十二面体の稜は立方体の対角線方向（４方向）を向いていて，対角線の長さの比が１：√２の菱形からなる１２面体ですが，菱形三十面体の稜は正二十面体の６本の主対角線方向にあり，対角線の比が黄金比の菱形多面体になるというわけです．

　３種類の相貫体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．

　４次元空間内の複合正多胞体でも，２個の正１６胞体を抱き合わせて４次元立方体に内接させたもの（ケプラーの８角星の４次元版），３個の正１６胞体を抱き合わせて正２４胞体に内接させたもの，３個の４次元立方体を抱き合わせて正２４胞体に内接させたものなどがあります．

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【５】平行多面体と空間充填

　互いに平行な辺がｎ組ある平行多面体の面の数は

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

枚となります．また，辺数，頂点はそれぞれ

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

で表されます．

　平行多面体のうち，正多面体と同じ対称性をもつものに立方体，３種類のアルキメデス立体（切頂八面体，切頂立方八面体，切頂１２・２０面体），２種類のアルキメデス双対（菱形十二面体，菱形三十面体），正２ｎ角柱があります．

　ところで，平行多面体による３次元空間の充填を考えると，１種類による周期的充填図形すなわち平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体として，立方体，正六角柱，菱形十二面体，長菱形十二面体，切頂八面体があります．以上の５種類を併せてフェドロフ（ロシアの結晶学者）の平行多面体といいます．６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．

　平行多面体による空間充填は結晶構造と深く関係していて，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域（ボロノイ領域）は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかないというわけです．

　これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以です．なお，２次元格子は５種類あり，それから決まるディリクレ領域も５種類あります．

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　周期的とは平行対称性をもつもの，準周期的とは平行対称性がないもののうち，鏡映対称性あるいは回転対称性をもつもの，非周期的とは鏡映対称性も回転対称性ももたないものを指す用語なのですが，３次元空間の非周期的充填には５種類の黄金平行多面体による非周期的充填が知られています．

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．

　黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体第２種，５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．

　２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

　一般にｎ次元平行多胞体は１種類あるいは何種類かでｎ次元空間を周期的に充填するのですが，それを３次元空間内や２次元平面上に投影すると非周期的な充填図形が得られることになります．その際，正１０角形を構成する２種類の菱形で構成される準周期性平面充填をペンローズ・パターンというのですが，それに対して，正８角形を構成する２種類の菱形（正方形を含む）で構成される準周期性平面充填はアンマン・パターンと呼ばれるタイル貼りになっています．

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【６】結晶群

　ここでは平行移動だけでなく，点中心の回転や直線に関する鏡映も考えてみることにします．平面上での等長変換は，平行移動，回転，鏡映，すべり鏡映，恒等変換の５種類あり，また，２次元結晶の回転角は，６０°・９０°・１２０°・１８０°・２４０°・２７０°・３００°しかないことを考察することにより，２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在することがわかります．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができます（フェドロフ）．

　また，空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類ですから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在していることが確かめられています．結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるのですが，それは変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからです（フェドロフ）．

　これらの事実の証明は非常に困難であり，これ以上追求しないことにするが，とくに３次元の格子状配置は，１９世紀の初めから，結晶内の原子の配列を記述するのに使われてきたものであり，対称性の群の分類についての仕事の大半は１９世紀の結晶学者によってなされたこと，２次元格子５種類，３次元格子１４種類に対し，４次元のブラーベ格子は６４種類（７４種類：１０組は対掌体の関係にある）あり，４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在することを付記しておきます．

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