オイラーは，フェルマー予想の一般のｎ乗ベキに対する証明に拡張する望みはまず見いだせないと書いています．

　さらに，オイラーは，フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題

『ｘ1^n＋ｘ2^n＋・・・＋ｘn-1^n＝ｘn^n，たとえば，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4にも自然数解がない』と予想しました．

　この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて，モーデルはコンピュータを使ってｗ＜２２００００の範囲でこの問題は成立することを紹介しています．

　ところが，オイラーの推測からおよそ２００年後，コンピュータを使って

２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5＝１４４^5 　（１９６６年）

９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4 　（１９８８年）

２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５０７３^4 　（１９８８年）

などのオイラー予想に対する反例が発見されました．

　さらに，エルキースにより，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました（１９８８年）．

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　　［参］大野泰生・松井優「白熱！無差別級数学バトル」日本評論社

に掲載されている問題です．

　１からはじめなくてもよければ，３^2＋４^2＝５^2，１８^2＋１９^2＋・・・＋２８^2＝７７^2，３^3＋４^3＋５^3＝６^3，１１^3＋１２^3＋１３^3＋１４^3＝２０^3など連続した平方（立方）数の和が平方（立方）数となることがあります．

［Ｑ］ｘ^4＋（ｘ＋１）^4＋（ｘ＋２）^4＋（ｘ＋３）^4＝（ｘ＋４）^4を満たす整数ｘは存在しないことを証明せよ．

［Ａ］ｘ＝４ｋ＋１のとき，左辺＝２，右辺＝１　　（ｍｏｄ４）

　　　ｘ＝４ｋ＋２のとき，左辺＝２，右辺＝０　　（ｍｏｄ４）

　　　ｘ＝４ｋ＋３のとき，左辺＝２，右辺＝０　　（ｍｏｄ４）

　　　ｘ＝４ｋのとき，左辺＝２，右辺＝０　　　　（ｍｏｄ４）

［Ｑ］ｘ^k＋（ｘ＋１）^k＋・・・＋（ｘ＋ｋ−１）^k＝（ｘ＋ｋ）^kを考える．

（１）ｋの１の位が１のとき，上式を満たす整数ｘは存在しないことを証明せよ．

（２）ｋが素数のとき，上式を満たす整数ｘが存在するならば，ｋ＝２であることを証明せよ．

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　ｘ^k＋（ｘ＋１）^k＋・・・＋（ｘ＋ｋ−１）^k＝（ｘ＋ｋ）^kが整数解をもつならば，

［１］ｋ＝２，ｘ＝−１→（−１）^2＋０^2＝１^2

［２］ｋ＝２，ｘ＝３→３^2＋４^2＝５^2

［２］ｋ＝３，ｘ＝３→３^3＋４^3＋５^3＝６^3

の３通りだけであると予想されている．

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