【１】Ａn型ルート格子

　　｜Ａ2 ｜＝｜２　１｜＝３

　　　　　　　｜１　２｜

　　　　　　　｜２　１　０｜

　　｜Ａ3 ｜＝｜１　２　１｜＝４

　　　　　　　｜０　１　２｜

は容易に計算できる．

　　・−・・・・・−・

をＡn のディンキン図形とすると，Ａn+1は左から・−を作用させた

　　・−・−・・・・・−・

すなわち，

　　・−（Ａn ）

であるから，その隣接行列式は

　　　　　　　　｜２　１　・・　０｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜Ａn+1 ｜＝｜１　２　・・　０｜＝｜１　　　　　　　｜

　　　　　　　　｜０　１　・・　１｜　｜０　　　Ａn 　　｜

　　　　　　　　｜０　０　・・ ２｜　｜０　　　　　　　｜

で表される．

　右辺を第１行について展開すると

　　 ｜１　１　０　・・　｜

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜０　　　Ａn-1 　　｜

　　 ｜０　　　　　　　　｜

次に，第１列について展開して

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　このことから，

　　｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜＝｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　＝・・・＝｜Ａ3 ｜ −｜Ａ2 ｜＝１

であり，したがって，数列｛｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜｝は公差１の等差数列であることがわかり，

　　｜Ａn ｜＝１＋ｎ

が得られる．

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　次に，

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜１　２　・・　０｜

　　｜１　１　・・・１｜＝｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜　｜０　０　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜０　０　・・ ２｜

を示してみよう．

　なぜ，このようなことをするのかというと，例えば，３次元の平行六面体の体積は

　　Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜

で与えられ，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたとき，グラミアンは

　　　　｜ｄ^2　　ｄ^2／２　　ｄ^2／２｜　　　　　　　　｜２　１　１｜

　　Ｇ＝｜ｄ^2／２　　ｄ^2　　ｄ^2／２｜＝（ｄ^2／２）^3｜１　２　１｜

　　　　｜ｄ^2／２　　ｄ^2／２　　ｄ^2｜　　　　　　　　｜１　１　２｜

として得ることができるというのがその理由である．

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　３次の行列式であれば，行列式を展開して

　　｜２　１　１｜　　　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜＝４，｜１　２　１｜＝４

　　｜１　１　２｜　　　｜０　１　２｜

であることを確認することができる．しかし，直接

　　｜２　１　１｜

　　｜１　２　１｜

　　｜１　１　２｜

を

　　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜

　　｜０　１　２｜

に変形することは難しいだろう．

　　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　０｜

　　｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜０　０　・・　１｜

　　｜０　０　・・ ２｜

は既に証明済みであるから，

　　｜２　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜

　　｜１　１　・・・１｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜

を示すことによって，両辺が一致することを確認してみよう．それでも立派な証明だろう．

　まず，第１行を他の行から引いて

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜−１　１　・・　０｜

　　｜１　１　・・　１｜＝｜−１　０　・・　０｜

　　｜１　１　・・　１｜　｜−１　０　・・　０｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜−１　０　・・ １｜

さらに第２列〜第ｎ列を第１列に加えれば

　　｜２　　１　・・　１｜　｜１＋ｎ　１　・・　１｜

　　｜−１　１　・・　１｜＝｜　０　　１　・・　０｜

　　｜−１　０　・・　０｜＝｜　０　　０　・・　０｜

　　｜−１　０　・・　１｜　｜　０　　０　・・　０｜

　　｜−１　０　・・ ２｜　｜　０　　０　・・ １｜

のように上三角行列式となる．

　三角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，

　　｜２　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜

　　｜１　１　・・　１｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜

となることが証明されたことになる．

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